[論文レビュー] Mildly dissipative diffeomorphisms of the disk with zero entropy

Sylvain Crovisier, Enrique Pujals+1 more|arXiv (Cornell University)|May 28, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 28被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、微小な散逸性を持つ円板の微分同相写像でトポロジカルエントロピーがゼロであるものは、一般化されたモース＝スメール系であるか、無限に再帰的であることを確立している。力学系理論の道具——特にトラッピング・ディスク、ピクソン・ディスク、および再帰的理論——を用いて、このような系がゼロと正のエントロピーの境界で二重化カスケードを示すことを証明し、1次元系におけるシャルコフスキーの定理を2次元の散逸的力学系へ一般化している。

ABSTRACT

We discuss the dynamics of smooth diffeomorphisms of the disc with vanishing topological entropy which satisfy the mild dissipation property introduced in [CP]. In particular it contains the Hénon maps with Jacobian up to 1/4. We prove that these systems are either (generalized) Morse Smale or infinitely renormalizable. In particular we prove for this class of diffeomorphisms a conjecture of Tresser: any diffeomorphism in the interface between the sets of systems with zero and positive entropy admits doubling cascades. This generalizes for these surface dynamics a well known consequence of Sharkovskii's theorem for interval maps.

研究の動機と目的

• 微小な散逸性のもとで、トポロジカルエントロピーがゼロである滑らかな円板上での微分同相写像の力学的挙動を特徴付けること。
• ゼロと正のエントロピーの境界に位置する系が二重化カスケードを示すという予想を解明すること。
• 1次元力学系の結果——特にシャルコフスキーの定理——を、散逸的微分同相写像を用いた2次元設定へ拡張すること。
• 再帰的構造とトラッピング構造が、高次元におけるゼロエントロピー力学系の分類において果たす役割を確立すること。
• ヘノン写像族を、このクラスにおける代表的例として分析し、ヤコビアン ≤ 1/4 の場合にゼロエントロピーを示すことを確認すること。

提案手法

• 体積収縮を保証するが強い双曲性を要しないγ散逸基準を用いて、微小な散逸性の概念を導入する。
• リスキッツの公式と不動点基準を適用して、不変多様体に関連する周期軌道の安定性を分析する。
• ピクソン・ディスクと安定・不安定弧および垂直・水平線分で囲まれたジョルダン領域を用いて、トラッピング・ディスクを構成する。
• 傾きの補題を用いて、構成された領域の前向き不変性を示し、不変集合と再帰的挙動の特定を可能にする。
• 局所的および大域的再帰的技法を用いて、周期点の構造とその集積挙動を分析する。
• ブロウワーの平面移動定理を適用して、不変多様体や閉じた領域の外で再帰的挙動が生じないことを除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トポロジカルエントロピーがゼロである微小な散逸性を持つ円板微分同相写像において、どのような力学的構造が出現するか？
• RQ2 ゼロと正のエントロピーの境界に位置する系は、1次元写像と同様に周期二重化カスケードを示すか？
• RQ3 ヤコビアン ≤ 1/4 のヘノン写像の力学的挙動は、一般化されたモース＝スメール系か無限に再帰的系に分類できるか？
• RQ4 トラッピング・ディスクとピクソン・ディスクの構成は、再帰的挙動とノンワandering集合の特徴づけにどのように寄与するか？
• RQ5 シャルコフスキーの周期点の階層は、2次元の散逸的微分同相写像へどの程度まで拡張可能か？

主な発見

• 微小な散逸性を持つ円板の微分同相写像でトポロジカルエントロピーがゼロであるものは、一般化されたモース＝スメール系か無限に再帰的である。
• トレッサーオの予想が確認された：エントロピーの境界に位置する系は二重化カスケードを示し、1次元系における周期二重化遷移を一般化する。
• ヤコビアン ≤ 1/4 のヘノン写像はこのクラスに属し、一般化されたモース＝スメール系か無限に再帰的である。
• 非グラフィックな不安定または安定分岐を持つ周期点の周囲に、垂直・水平線分を用いて不変なジョルダン領域を形成するトラッピング・ディスクを構成可能である。
• サイクルの不在と、安定化周期点に関連する点の減少列の構造から、安定化周期点の有限集合が導かれる。
• 不変多様体および閉じた領域の外側の力学的挙動は、ブロウワーの定理により無限遠へ逃れる。