[論文レビュー] Mills' ratio: Reciprocal concavity and functional inequalities

Árpád Baricz|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2010

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、完全単調性やL'Hôpitalの定理の単調形態の性質を用いて、連続的単変量分布のミルズ比が逆凸または逆凹となる十分条件を確立する。ガンマ分布、対数正規分布、スチューデントのt分布のミルズ比に関して関数不等式を導出し、独占理論への応用を含む。

ABSTRACT

AbstractThis note contains sufficient conditions for the probability density function of an arbitrary continuousunivariate distribution such that the corresponding Mills ratio to be reciprocally convex (concave). Toillustrate the applications of the main results, the Mills ratio of some common continuous univariate dis-tributions, like gamma, log-normal and Student’s t distributions, are discussed in details. The applicationto monopoly theory is also summarized. Keywords: Mills ratio, Reciprocally convex (concave) functions, Monotone form of l’Hospital’s rule,Statistical distributions, Completely monotonic functions, Stieltjes transform1. IntroductionBy definition (see [Me]) a function f : [a,b] ⊆ (0,∞) → Ris said to be (strictly) reciprocally convexif x → f(x) is (strictly) concave and x → f(1/x) is (strictly) convex on [a,b]. Merkle [Me] showed thatf is reciprocally convex if and only if for all x,y ∈ [a,b] we havef2xyx +y≤f(x) + f(y)2≤ fx+y2≤xf(x) +yf(y)x+y. (1)We note here that in fact the third inequality follows from the fact that the function x → f(1/x) is convexon [a,b] if and only if x → xf(x) is convex on [a,b]. In what follows, a function g : [a,b] ⊆ (0,∞) → Rissaid to be (strictly) reciprocally concave if and only if −g is (strictly) reciprocally convex, i.e. if x → g(x)is (strictly) convex and x → g(1/x) is (strictly) concave on [a,b]. Observe that if f is differentiable, thenx → f(1/x) is (strictly) convex (concave) on [a,b] if and only if x → x

研究の動機と目的

• 連続的単変量分布のミルズ比が逆凸または逆凹となる十分条件を特定すること。
• 関数不等式を用いて、ガンマ分布、対数正規分布、スチューデントのt分布のミルズ比を分析すること。
• 理論的結果を経済モデル、特に独占理論に応用すること。
• ミルズ比の研究におけるL'Hôpitalの定理の単調形態および完全単調関数の使用を拡張すること。
• 逆凸性と分布解析におけるStieltjes変換との間の関係を確立すること。

提案手法

• 逆凸関数の定義を用いる：f が逆凸であるとは、f(1/x) が [a,b] 上で凸であり、かつ f(x) が凹であることを意味する。
• ミルズ比の文脈において関数比の単調性を分析するため、L'Hôpitalの定理の単調形態を適用する。
• 完全単調関数の概念を用いて、ミルズ比が逆凸を示す条件を導出する。
• 不等式鎖 f(2xy/(x+y)) ≤ (f(x)+f(y))/2 ≤ f((x+y)/2) ≤ (xf(x)+yf(y))/(x+y) を、逆凸性の特徴づけとして用いる。
• f(1/x) の凸性と xf(x) の凸性との関係を調べる変換 x → xf(x) を分析し、関数的解析を可能にする。
• Stieltjes変換の枠組みを用いて、積分表現の観点からミルズ比を表現・研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的単変量分布のミルズ比がどのような条件下で逆凸または逆凹となるか？
• RQ2 調和平均および算術平均を含む関数不等式は、ミルズ比の逆凸性をどのように特徴づけるか？
• RQ3 逆凸性がガンマ分布、対数正規分布、スチューデントのt分布に与える影響は何か？
• RQ4 L'Hôpitalの定理の単調形態は、ミルズ比の単調性をどのように分析できるか？
• RQ5 ミルズ比の逆凸性は、独占理論のモデルにどのような影響を及えるか？

主な発見

• 完全単調性を用いた解析により、特定のパrameter制約下でガンマ分布のミルズ比が逆凸であることが示された。
• 対数正規分布では、元となる正規分布の分散が十分に大きい場合、ミルズ比が逆凸である。
• スチューデントのt分布のミルズ比は、自由度が特定の閾値を超える場合に逆凸であることが、漸近的および単調性解析を用いて導出された。
• 不等式鎖 f(2xy/(x+y)) ≤ (f(x)+f(y))/2 ≤ f((x+y)/2) ≤ (xf(x)+yf(y))/(x+y) は、逆凸なミルズ比に対して成り立ち、関数的特徴づけを提供する。
• 変換 x → xf(x) は、f(1/x) が凸である場合に凸性を保存するため、逆解析における凸性基準の使用を可能にする。
• 独占理論への応用において、ミルズ比の逆凸性が非対称情報下での最適価格戦略の構造に影響を与えることが明らかになった。