[論文レビュー] Milnor and Tjurina numbers for a hypersurface germ with isolated singularity

Yongqiang Liu|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$$\mathbb{C}^n$$ の原点で孤立特異点をもつ解析関数の芽に対して、Milnor数 $$\mu$$ と Tjurina数 $$\tau$$ の比が $$n$$ 以下であることを確立している。すなわち $$\mu/\tau \leq n$$ である。等号は、Milnor代数における $f$ による乗法の核が $f^{n-1}$ で生成されるイデアルに等しいときに限り成立し、これは鋭い上界であり、多様体の次元 $n$ と多重度 $m$ を用いた $$\tau$$ の新たな下界を与える。

ABSTRACT

Assume that $f:(\mathbb{C}^n,0) o (\mathbb{C},0)$ is an analytic function germ at the origin with only isolated singularity. Let $μ$ and $τ$ be the corresponding Milnor and Tjurina numbers. We show that $\dfracμτ \leq n$. As an application, we give a lower bound for the Tjurina number in terms of $n$ and the multiplicity of $f$ at the origin.

研究の動機と目的

• 孤立超曲面特異点における Milnor数 $$\mu$$ と Tjurina数 $$\tau$$ の比 $$\mu/\tau$$ に対する鋭い上界を確立すること。
• Milnor代数における $f$ による乗法の核を用いて、$$\mu/\tau = n$$ の等号成立条件を特徴づけること。
• 関数の芽の多重度 $m$ を用いて Tjurina数 $$\tau$$ の下界を導出すること。
• 便利で非退化な芽に対しては、この不等式をニュートン数 $$\nu$$ に拡張すること。
• 特殊な特異点クラスにおける導出された $$\tau$$ の下界の最適性を調査すること。

提案手法

• Milnor代数 $$M_f = S/J_f$$、Tjurina代数 $$T_f = S/(J_f, f)$$、および $f$ による乗法の核を含む長完全系列を利用する。
• Briançon-Skodaの定理を適用し、$$f^n \in J_f$$ であるから、$$M_f$$ において $$f^n = 0$$ である。これにより、有限フィルトレーション $$M_f \supset (f) \supset \cdots \supset (f^{n-1}) \supset 0$$ が得られる。
• 商空間 $$(f^i)/(f^{i+1})$$ の次元を解析し、$$\dim \ker(f) = \tau$$ と関連付ける。
• 断面Milnor数の対数凸性を用いて不等式 $$\mu \geq (m-1)^n$$ を導出する。
• Kushnirenkoの不等式 $$\mu \geq \nu$$ を用い、便利な芽に対して $$\tau \geq \nu/n$$ を得る。
• 形式的べき級数環における代数的技法とヤコビアンイデアルの性質を用いて、$$M_f$$ と $$T_f$$ の構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $$\mathbb{C}^n$$ における孤立超曲面特異点について、Milnor数 $$\mu$$ と Tjurina数 $$\tau$$ の比 $$\mu/\tau$$ の鋭い上界は何か？
• RQ2 比 $$\mu/\tau$$ が最大値 $n$ をとる条件は何か？
• RQ3 関数の芽の多重度 $m$ を用いて Tjurina数 $$\tau$$ の下界を導出可能か？
• RQ4 下界 $$\tau \geq (m-1)^n / n$$ は最適であり、いつ達成されるか？
• RQ5 半重み付き斉次的または非退化な特異点などの特殊クラスにおいて、不等式 $$\mu/\tau \leq n$$ を改善できるか？

主な発見

• $$\mathbb{C}^n$$ における孤立超曲面特異点について、Milnor数 $$\mu$$ と Tjurina数 $$\tau$$ の比は $$\mu/\tau \leq n$$ を満たす。
• 等号 $$\mu/\tau = n$$ が成り立つのは、Milnor代数 $$M_f$$ において $$\ker(f) = (f^{n-1})$$ のときに限り成立する。
• Tjurina数の下界は $$\tau \geq (m-1)^n / n$$ で与えられ、ここで $m$ は原点における $f$ の多重度である。
• 便利で非退化な芽に対しては、Tjurina数は $$\tau \geq \nu / n$$ を満たし、ここで $$\nu$$ は $f$ のニュートン数である。
• 同次的場合でも、$n > 1$ のときには $$\tau \geq (m-1)^n / n$$ の下界は達成されず、実際 $$\tau = \mu = (m-1)^n > (m-1)^n / n$$ となる。
• SINGULARによる数値計算の結果、特定の例において $n \leq 7$ の範囲で $$\mu/\tau < 1.5$$ であることが示され、理論的上界 $$n$$ よりもはるかに小さい。