[論文レビュー] Milnor-Lê type fibrations for subanalytic maps

Rafaella de Souza Martins, Aurélio Menegon|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2018

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^m$ および $\mathbb{R}^n$ における部分解析的集合間の部分解析的写像 $f: X \to Y$ に対して、特異的でないが解析的でない判別集合を含む場合にまで拡張されたミルナー＝レ型のファイブレーションを確立する。特異的条件下で、判別集合の外側および上部において、$f$ が局所的に自明な位相的ファイブレーションを誘導することを証明する。これは、$f$ がファイブレーションをなす部分解析的ストラトムに分割されることにより、実および複素のファイブレーションを特異的かつ非解析的状況に一般化する。

ABSTRACT

We prove a Milnor-Lê type fibration theorem for a subanalytic map $f: X o Y$ between subanalytic sets $X \subset \mathbb{R}^m$ and $Y \subset \mathbb{R}^n$. Moreover, if $f$ extends to an analytic map $\mathbb{R}^m o \mathbb{R}^n$, we define the singular set and the discriminant set of $f$, in a stratified sense. Then we give Milnor-Lê type fibration theorems for $f$ outside its discriminant, as well as over it. We give examples of each situation approached in this paper.

研究の動機と目的

• 部分解析的写像 $f: X \to Y$（$X \subset \mathbb{R}^m$, $Y \subset \mathbb{R}^n$）に対してミルナー＝レファイブレーションを拡張すること。
• 写像 $f$ が $\mathbb{R}^m$ で解析的関数に拡張可能な場合、その特異的集合および判別集合をストラトム的意味で定義すること。
• 判別集合が解析的でない場合であっても、判別集合の外および上部でファイブレーションを確立すること。
• 古典的ミルナー＝レファイブレーションを実部分解析的およびストラトム的状況に一般化すること。
• ファイブレーションが成り立つ明示的な例（特に判別集合上および非孤立臨界点の場合を含む）を構成すること。

提案手法

• 非解析的判別集合を取り扱うために、部分解析的集合およびホイットニーのストラチフィケーションを用いる。
• 次第の次元が増加する部分解析的集合の入れ子な列 $W_0 \subset \cdots \subset W_l = Z$ を用いて判別集合を分割する。各 $W_i \setminus W_{i-1}$ は滑らかなストラトムである。
• 各ストラトム $W_i \setminus W_{i-1}$ 上で位相的局所自明なファイブレーションを適用し、$f^{-1}(W_i \setminus W_{i-1}) \cap B \to W_i \setminus W_{i-1}$ がファイブレーションであることを保証する。
• 写像 $f$ が $\mathbb{R}^m$ で解析的関数に拡張可能な場合、特異的集合および判別集合をストラトム的意味で定義する。
• $\dim W < \dim \Delta_{f_B}$ となる部分解析的集合 $W \subset \Delta_{f_B}$ を構成し、$\Delta_{f_B} \setminus W$ が滑らかで、$f$ がその上にファイブレーションに制限されることを保証する。
• 同次多項式写像 $f(x) = (\sum a_{1j}x_j^p, \dots)$ の場合に、パラメータ化された平面を用いて判別集合 $\Delta_{f_B}$ を記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 判別集合が解析的でない場合に、部分解析的写像に対してミルナー＝レ型ファイブレーションを確立できるか？
• RQ2 写像が $\mathbb{R}^m$ で解析的関数に拡張可能な場合、部分解析的写像の特異的集合および判別集合をストラトム的意味で定義できるか？
• RQ3 判別集合そのもの上でもファイブレーションを構成できるか、外側でのみではないか？
• RQ4 非孤立臨界点を持つ場合、判別集合上のファイバーの位相的構造はどのようなものか？
• RQ5 同次多項式写像においても、判別集合上でのファイブレーションが成り立つ明示的な例を構成できるか？

主な発見

• 任意の部分解析的写像 $f: X \to Y$ で、$f$ が $\mathbb{R}^m$ に連続的に拡張可能な場合、$f$ が各ストラトム $W_i \setminus W_{i-1}$ 上で位相的局所自明なファイブレーションを誘導する入れ子な部分解析的集合の列 $W_0 \subset \cdots \subset W_l = Z$ が存在する。
• 写像 $f$ が $\mathbb{R}^m$ で解析的関数に拡張可能な場合、判別集合 $\Delta_{f_B}$ は部分解析的であり、$f$ がファイブレーションに制限される滑らかな部分解析的部分集合 $\Delta_{f_B} \setminus W$ に分解可能である。
• 任意のコンパクトな部分解析的集合 $B \subset \mathbb{R}^m$ に対して、$\mathbb{R}^n \setminus \Delta_{f_B}$ 上でのファイブレーションが成り立ち、解析的ジェルムに対する既存の結果を一般化する。
• 同次多項式写像 $f(x) = (\sum a_{1j}x_j^p, \dots)$ の場合、判別集合 $\Delta_{f_B}$ はパラメータ化された平面の有限個の和集合であり、$f$ は $\Delta_{f_B} \setminus \Sigma_\Delta$ 上でファイブレーションを誘導する。ここで $\Sigma_\Delta$ は判別集合の特異的集合である。
• $\u0002\Delta_{f_B} \setminus \Sigma_\Delta$ 上の点のファイバーは滑らかな多様体であり、ファイブレーションは位相的に局所自明である。
• 同次写像の例では、構成により $W = \Sigma_\Delta$ が明示的に特定され、$\Delta_{f_B} \setminus W$ が滑らかで、$f$ がそこではサブマニフェルドであるため、ファイブレーションであることが示される。