[論文レビュー] Min-Cost Flow in Unit-Capacity Planar Graphs

Adam Karczmarz, Piotr Sankowski|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 36被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、単位容量の平面的グラフにおける最小費用流問題に対して、Ω(m³/²)の時間計算量の壁を打ち破る最初の完全に組合せ的なアルゴリズムを提示している。時間計算量はeO((nm)²/³ log C)を達成している。本手法は、スケーリングに基づく逐次最短路アプローチに、r-分割と効率的な密度の高い距離グラフの計算を組み合わせることで、平面的構造における最短路クエリの高速化を実現している。

ABSTRACT

In this paper we give an $\widetilde{O}((nm)^{2/3}\log C)$ time algorithm for computing min-cost flow (or min-cost circulation) in unit capacity planar multigraphs where edge costs are integers bounded by $C$. For planar multigraphs, this improves upon the best known algorithms for general graphs: the $\widetilde{O}(m^{10/7}\log C)$ time algorithm of Cohen et al. [SODA 2017], the $O(m^{3/2}\log(nC))$ time algorithm of Gabow and Tarjan [SIAM J. Comput. 1989] and the $\widetilde{O}(\sqrt{n}m \log C)$ time algorithm of Lee and Sidford [FOCS 2014]. In particular, our result constitutes the first known fully combinatorial algorithm that breaks the $\widetilde{O}(m^{3/2})$ time barrier for min-cost flow problem in planar graphs. To obtain our result we first give a very simple successive shortest paths based scaling algorithm for unit-capacity min-cost flow problem that does not explicitly operate on dual variables. This algorithm also runs in $\widetilde{O}(m^{3/2}\log{C})$ time for general graphs, and, to the best of our knowledge, it has not been described before. We subsequently show how to implement this algorithm faster on planar graphs using well-established tools: $r$-divisions and efficient algorithms for computing (shortest) paths in so-called dense distance graphs.

研究の動機と目的

• 単位容量の平面的多重グラフにおける最小費用流問題の、より高速で完全に組合せ的なアルゴリズムの開発。
• 平面的グラフにおける最小費用流問題の長年のΩ(m³/²)の時間計算量の壁を打ち破ること。
• 構造的洞察を明らかにしない内点法とは対照的に、組合せ的代替手法の提供。
• 高度なデータ構造を用いて、スケーリングに基づくアルゴリズムを平面的グラフに応用可能にする。
• 一般グラフや平面的グラフの単位容量インスタンスに対して、O(m³/² log C)およびeO(m¹⁰/⁷ log C)という先行の境界を超えること。

提案手法

• 明示的な双対変数の操作を回避する、単位容量最小費用流問題のための新規なスケーリングに基づく逐次最短路アルゴリズムを提案。
• ゴールドバーグとタルジャンのスケーリングフレームワークを、r-分割を用いた効率的な分解により平面的グラフに適用。
• 各r-分割の断片における境界頂点間の最短路を事前に計算するために、密度の高い距離グラフ（DDG）を用いる。
• 最短路探索中の未スキャンエッジを維持するために、動的先行者/後続者データ構造を用いる。
• 部分順序と単調性の性質を活用して、境界集合における次に未スキャンのエッジを効率的に特定する動的データ構造を実装。
• r-分割のサイズと対数因子のバランスを最適化し、r = n²/³m¹/³ · (log n / (log m · log² log n))²/³を設定することで、総実行時間の最適化を図る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面的グラフにおける最小費用流問題の完全に組合せ的なアルゴリズムが、m³/²未満の時間計算量を達成できるか？
• RQ2 r-分割のような構造的性質を活用することで、平面的グラフにおける逐次最短路アプローチを高速化できるか？
• RQ3 階層的データ構造を用いて、平面的グラフにおける動的エッジスキャン情報の効率的維持が可能か？
• RQ4 密度の高い距離グラフと動的先行者構造は、総実行時間の短縮にどのように寄与するか？
• RQ5 スケーリングフレームワークを平面的グラフに適応させ、(nm)²/³依存性を達成できるか？

主な発見

• 本論文は、単位容量の平面的多重グラフにおける最小費用循環問題に対して、eO((nm)²/³ log C)の時間計算量を達成した。
• これは、一般グラフと平面的グラフのそれぞれに対して、O(m³/² log C)およびeO(m¹⁰/⁷ log C)という先行の最良境界を超える。
• 本アルゴリズムは、平面的最小費用流問題において、Ω(m³/²)の時間計算量の壁を打ち破る最初の完全に組合せ的な手法である。
• r-分割と密度の高い距離グラフの使用により、平面的部分グラフ間の効率的な最短路計算が可能になった。
• 先行者クエリのための動的データ構造により、未処理エッジのスキャンコストが1回あたりO(log log n)に削減された。
• 最適なパrameterチューニングのもと、最終的な時間計算量はO((nm)²/³ · log⁵/³ n · log¹/³ m / log⁴/³ log n · log(nC))となる。