[論文レビュー] Min-max representations of viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations and applications in rare-event simulation

Boualem Djehiche, Henrik Hult+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2014

Probability and Risk Models参考文献 34被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、凸で状態依存のハミルトニアンに対して、MañéのポテンシャルとMatherの作用関数の双対性を確立し、一次のハミルトン・ジャコビ方程式の粘性解に対するミニマックス表現を可能にする。これらの表現により、まれな事象のシミュレーションにおける重要度サンプリングアルゴリズムのための効率的な下位解が得られ、特に拡散過程や遷移がまれな確率的システムにおいて有効である。

ABSTRACT

In this paper a duality relation between the Mañé potential and Mather's action functional is derived in the context of convex and state-dependent Hamiltonians. The duality relation is used to obtain min-max representations of viscosity solutions of first order Hamilton-Jacobi equations. These min-max representations naturally suggest class\-es of subsolutions of Hamilton-Jacobi equations that arise in the theory of large deviations. The subsolutions, in turn, are good candidates for designing efficient rare-event simulation algorithms.

研究の動機と目的

• 凸で状態依存のハミルトニアンに対して、MañéのポテンシャルとMatherの作用関数の双対性を確立すること。
• 一次のハミルトン・ジャコビ方程式の粘性解に対するミニマックス表現を導出すること。
• まれな事象のシミュレーションにおける効率的な重要度サンプリングアルゴリズムの構築に適した、ハミルトン・ジャコビ方程式の下位解を同定すること。
• 大偏差理論と確率的シミュレーションにおける実用的分散低減技術を結びつけること。
• 初期条件において粘性解と一致するように下位解を体系的に構築する手法を提供することにより、バイアスのないかつ効率的な推定器を保証すること。

提案手法

• Mañéのポテンシャル $ S^c(x,y) $ とMatherの作用関数 $ M(t,y;x) $ の間に双対関係を導出し、$ M(t,y;x) = \sup_{c>c_H} \{ S^c(x,y) - ct \} $ を示す。
• Fenchel-Legendre変換を用いて、ラグランジアン $ L $ とハミルトニアン $ H $ を関連させ、運動量変数における凸性を保証する。
• ミニマックス表現 $ V(t,y) = \inf_{x} \sup_{c>c_H} \{ S^c(x,y) - ct + g(x) \} $ を用いて粘性下位解を構築する。ここで $ g $ は初期条件である。
• 双対性を時変のハミルトン・ジャコビ方程式に適用し、終端条件または初期条件を伴う場合に粘性解の性質を証明する。
• 出生・死滅過程（SISモデル）に対して数値的に検証を行い、まれな事象確率推定における相対誤差が低く抑えられることを示した。
• 変分原理と粘性解理論を用いて、構築された関数の下位解および上位解の性質を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 凸で状態依存のハミルトニアンに対して、MañéのポテンシャルとMatherの作用関数の間には双対性を確立できるか？
• RQ2 この双対性をどのように用いて、ハミルトン・ジャコビ方程式の粘性解に対するミニマックス表現を導出できるか？
• RQ3 ミニマックス構造から生じる下位解のクラスは、どのようなものであり、まれな事象のシミュレーションに適しているか？
• RQ4 これらの下位解は、まれな事象推定における重要度サンプリングアルゴリズムの効率をどのように向上させるか？
• RQ5 この理論的枠組みは、SISモデルのような現実的な確率的過程において、数値的に検証可能か？

主な発見

• 双対性関係が証明された：$ M(t,y;x) = \sup_{c>c_H} \{ S^c(x,y) - ct \} $、ここで $ c_H $ はMañéの臨界値である。
• ミニマックス表現 $ V(t,y) = \inf_x \sup_{c>c_H} \{ S^c(x,y) - ct + g(x) \} $ は、ハミルトン・ジャコビ方程式の初期値問題に対する粘性解を与える。
• 構築された下位解は粘性下位解の性質を満たし、初期時刻において粘性解と一致するため、重要度サンプリングに適している。
• 出生・死滅過程（$ \rho=3 $）における数値結果では、$ n=100 $ のとき相対誤差が4.38%、$ n=500 $ のとき10.1%に低下し、$ n $ が増加するにつれて安定した性能を示した。
• 本手法は、理論的にも的確で実用的にも有効な下位解を体系的に生成する方法を提供する。
• 本手法はさまざまな確率的過程に一般化可能であり、重要度サンプリング設計におけるヒューリスティックなパスフォローリング手法に対する堅牢な代替手法を提供する。