[論文レビュー] Min-max theory for free boundary minimal hypersurfaces I - regularity theory

Martin Li, Xin Zhou|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 36被引用数 40

ひとこと要約

本稿は、滑らかで埋め込まれた最小超曲面が、任意の境界をもつコンパactなリーマン多様体に自由境界をもって存在することを、静止バリアフォールドのミニマックス構成を用いて確立する。これはアルムグレンのプログラムを自由境界設定に拡張し、正則性と埋め込み性を証明する。非負のリッチ曲率および凸境界条件のもとで、このような超曲面の無限族への拡張も行われる。

ABSTRACT

In 1960s, Almgren initiated a program to find minimal hypersurfaces in compact manifolds using min-max method. This program was largely advanced by Pitts and Schoen-Simon in 1980s when the manifold has no boundary. In this paper, we finish this program for general compact manifold with nonempty boundary. As a result, we prove the existence of a smooth embedded minimal hypersurface with free boundary in any compact smooth Euclidean domain. An application of our general existence result combined with the work of Marques and Neves shows that for any compact Riemannian manifolds with nonnegative Ricci curvature and convex boundary, there exist infinitely many embedded minimal hypersurfaces with free boundary which are properly embedded.

研究の動機と目的

• 境界をもつコンパクトなリーマン多様体における最小超曲面のアルムグレンのミニマックスプログラムを完成させること。
• 任意の境界をもつコンパクトなユークリッド領域において、滑らかで埋め込まれた自由境界最小超曲面の存在を確立すること。
• 非負のリッチ曲率および凸境界条件のもとで、そのような超曲面の無限族の存在を拡張すること。
• 境界付きのほぼ最小化バリアフォールドの正則性理論を構築し、可解性と接錐構造を保証すること。
• 一般の境界をもつコンパクト多様体において、凸性や曲率の仮定なしに、滑らかで埋め込まれた自由境界最小超曲面を構成するという長年の未解決問題を解決すること。

提案手法

• 相対的サイクルとバリアフォールドのホモトピー類を用いて、アルムグレン＝ピットスのミニマックス理論を自由境界設定に適応する。
• 離散的および連続的変形プロセスを用いて定義される、境界付きのほぼ最小化バリアフォールドの概念を導入する。
• フェルミ座標とチューブ型近傍構成を用いて、境界の挙動と接錐を分析する。
• 質量を最小化しつつ境界制約とホモトピー型を保つためのタイトニング手順を適用する。
• フビニ型の議論と可解性推定を用いて、バリアフォールドが正の余次元をもつ特定の特異集合を避けることを示す。
• 良い置換性質を確立し、コーン比較を用いて接錐が平坦であることを証明し、正則性を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の境界をもつコンパクトなリーマン多様体に、滑らかで埋め込まれた自由境界最小超曲面が存在するか？
• RQ2 ミニマックス法を自由境界設定に拡張することで、正則で埋め込まれた静止バリアフォールドを生成できるか？
• RQ3 与えられた多様体において、そのような超曲面が無限個存在するための条件は何か？
• RQ4 最小超曲面が周囲の境界を正しくない方法で接触する場合、その境界挙動をどのように制御できるか？
• RQ5 境界付きのほぼ最小化バリアフォールドはどのような正則性を持つのか？また、それらが滑らかであることを示せるか？

主な発見

• 本稿は、任意の境界をもつ滑らかなコンパクトなユークリッド領域において、滑らかで埋め込まれた自由境界最小超曲面の存在を証明する。
• 任意の境界をもつコンパクトなリーマン多様体が非負のリッチ曲率および凸境界をもつとき、自由境界をもつ滑らかで適切に埋め込まれた最小超曲面が無限個存在することを確立する。
• 著者らは、境界付きのほぼ最小化バリアフォールドが可解的であり、ほとんどすべての点で平坦な接錐を持つことを示し、正則性を示唆する。
• 主要な技術的結果として、可解的バリアフォールドにおいて、特定の幾何的制約のもとでフェルミ球における特異集合の測度が消えることが示される。
• 凸性や曲率の仮定なしに、境界付き自由境界問題を完全に一般に解消する。
• 構成により得られる最小超曲面は、静止的であるだけでなく、埋め込まれており滑らかであることが保証される。これは境界が非凸であっても、多様体が非自明なトポロジーをもっていても成り立つ。