[論文レビュー] Mini-max theory, spectral invariants and geometry of the Hamiltonian diffeomorphism group

Yong‐Geun Oh|ArXiv.org|Jun 10, 2002

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、任意のコンpactなシンプレクティック多様体上のハミルトニアン微分同相写像に対して、可縮ループ空間の普遍被覆におけるノビコフサイクルを用いたミニマックス理論を用いてスペクトル不変量を導入する。これらの不変量を用いて連続的かつ不変なノルムを構成し、ホーファーノルムの新しい下界を、擬複素曲線のシンプレクティック面積を用いて示し、ホーファーノルムの半局所的 $ C^1 $-平坦性を証明する。

ABSTRACT

In this paper, we first develop a mini-max theory of the action functional over the semi-infinite cycles via the chain level Floer homology theory and construct spectral invariants of Hamiltonian diffeomorphisms on arbitrary compact symplectic manifold (M,omega). To each given time dependent Hamiltonian function H and quantum cohomology class 0 not equal a element of QH^*(M), we associate an invariant rho(H;a) which varies continuously over H in the C^0-topology. This is obtained as the mini-max value over the semi-infinite cycles whose homology class is `dual' to the given quantum cohomology class a on the covering space \widetilde Omega_0(M) of the contractible loop space Omega_0(M). We call them the Novikov cycles. We then use the spectral invariants to construct a new invariant norm on the Hamiltonian diffeomorphism group and a partial order on the set of time-dependent Hamiltonian functions of arbitrary compact symplectic manifolds. As some applications, we obtain a new lower bound of the Hofer norm of non-degenerate Hamiltonian diffeomorphisms in terms of the area of certain pseudo-holomorphic curves and prove the semi-global C^1-flatness of the Hofer norm.

研究の動機と目的

• 任意のコンパクトなシンプレクティック多様体上で、チェーンレベルのフローリングホモロジーを用いて、半無限サイクル上の作用関数 functional に対するミニマックス理論を構築すること。
• 時間に依存するハミルトニアン $ H $ および非ゼロの量子コホモロジー類 $ a \in QH^*(M) $ に対して、スペクトル不変量 $ \rho(H; a) $ を定義し、$ C^0 $-連続性を保証すること。
• スペクトル不変量を用いてハミルトニアン微分同相写像群に不変ノルムを構成し、ホーファー幾何学を一般化すること。
• ホーファーノルムの下界を、特定の擬複素曲線のシンプレクティック面積を用いて確立すること。
• スペクトル不変量とハミルトニアンファイブレーションを用いて、ホーファーノルムの半局所的 $ C^1 $-平坦性を証明すること。

提案手法

• 時間に依存するハミルトニアン $ H $ と、可縮ループ空間の普遍被覆 $ \widetilde{\Omega}_0(M) $ 内の、与えられた量子コホモロジー類 $ a $ に双対な半無限サイクル（ノビコフサイクル）上でのミニマックス値として、スペクトル不変量 $ \rho(H; a) $ を構成する。
• フィルター付きフロイドホモロジーとノビコフサイクルのリンク性を用いて、不変量の有限性とスペクトル性を保証する。
• ハミルトニアンファイブレーションを介して得られる三角不等式を活用し、$ \phi \in \mathrm{Ham}(M,\omega) $ に対して $ \|\phi\|_\rho = \inf_H \rho(H; a) $ として不変ノルムを定義する。
• 固定されたモノドロミーと擬複素曲線のセクションを備えたハミルトニアンファイブレーションの理論を用いて、三角不等式の証明と $ K $-面積の制御を行う。
• 連続的線形汎関数を持つ、コホモロジカルに良好な設定に一般化するため、有界量子コホモロジー $ QH^*_{bdd}(M) $ を導入する。
• エントフの $ K $-面積枠組みとハミルトニアンファイブレーション上の接続を用いて、スペクトル不変量とホーファー長に類似した量との関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 作用関数が多値的である非正確なシンプレクティック多様体上でのハミルトニアン微分同相写像に対して、スペクトル不変量はどのように定義可能か？
• RQ2 フロイドホモロジーから得られるスペクトル不変量を用いて、$ \mathrm{Ham}(M,\omega) $ 上に連続的かつ不変なノルムを構成できるか？
• RQ3 ホーファーノルムと擬複素曲線のシンプレクティック面積の関係は何か？ そして、これにより下界を得られるか？
• RQ4 スペクトル不変量とハミルトニアンファイブレーションの文脈において、ホーファーノルムの $ C^1 $-平坦性はどのように現れるか？
• RQ5 スペクトル不変量は有界量子コホモロジー類に拡張可能か？ そして、ノルムの不変性と連続性にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 時間に依存するハミルトニアンの空間における $ C^0 $-位相で、スペクトル不変量 $ \rho(H; a) $ は適切に定義され、連続的である。
• スペクトル不変量を用いて、ハミルトニアン微分同相写像群 $ \mathrm{Ham}(M,\omega) $ 上に新たな不変ノルム $ \|\phi\|_\rho $ が構成され、ハミルトニアンファイブレーションの技法を用いて三角不等式を満たす。
• 非退化なハミルトニアン微分同相写像のホーファーノルムに対して、特定の擬複素曲線のシンプレクティック面積を用いた新しい下界が確立された。
• スペクトル不変量とハミルトニアンファイブレーションの $ K $-面積枠組みを用いて、ホーファーノルムの半局所的 $ C^1 $-平坦性が証明された。
• スペクトル不変量は有界量子コホモロジー類 $ QH^*_{bdd}(M) $ に拡張可能であり、不変量のコホモロジカルに堅牢な定式化が可能になった。
• 本研究の構成は、フロイド理論的および幾何学的技法を用いて、バイトルの不変量とホーファーのノルムを、任意のコンパクトなシンプレクティック多様体へ一般化した。