[論文レビュー] Minimal bi-ideals in regular and completely regular ordered semigroups

Kalyan Hansda|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2017

Fuzzy and Soft Set Theory参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、二重イデアルの最小性を通じて、正規および完全正規順序半群を特徴づけ、完全正規順序半群におけるすべての二重イデアルが最小であり、正規順序半群が完全正規であるための必要十分条件がその最小二重イデアルの和集合であること、さらに最小二重イデアルが最小左イデアルと最小右イデアルの積であり、二重単純であることを示している。これにより、順序半群における最小性と正規性の構造的関係が確立される。

ABSTRACT

Here we characterize regular and completely regular ordered semigroups by their minimal bi-ideals. A minimal bi-ideal is expressed as a product of a minimal right ideal and a minimal left ideal. Furthermore, we show that every bi-ideal in a completely regular ordered semigroup is minimal and hence a regular ordered semigroup S is completely regular if and only if S is union its of minimal bi-ideals.

研究の動機と目的

• 二重イデアルの最小性を用いて、正規および完全正規順序半群を特徴づけること。
• 最小二重イデアルと順序半群の分解との間の構造的関係を確立すること。
• 完全正規順序半群において、すべての二重イデアルが最小であり、順序的イデプotentによって生成されることを示すこと。
• 正規順序半群が完全正規であるための必要十分条件が、その最小二重イデアルの和集合であることの証明。
• 最小性、二重単純性、および t-単純性の関係を明確にすること。

提案手法

• 順序半群における二重イデアルの定義を用いる：部分半群 B で、BSB ⊆ B かつ (B] = B を満たすもの。
• 正規順序半群において、B(a) = (R(a)L(a)] および B(a) = (aSa] であるという特徴づけを適用する。
• グリーンの関係（L, R, H, J）および H 関係を用いて最小性と構造を分析する。
• 最小二重イデアルが二重単純であり、t-単純であるという事実を用いる。また、すべての二重単純順序半群は t-単純であることも利用する。
• 定理2.4を適用する。この定理は、完全正規順序半群が t-単純部分半群の和集合であることを示している。
• ある e ∈ E≤(S) に対して B(a) = B(e) となる順序的イデプotent e の存在を用い、すべての二重イデアルが主的かつ最小であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規および完全正規順序半群は、その二重イデアルの最小性をどのように特徴づけられるか？
• RQ2 最小二重イデアル、最小左/右イデアル、および二重単純性の間の構造的関係は何か？
• RQ3 順序半群において、すべての二重イデアルが最小であるための条件は何か？
• RQ4 正規順序半群が二重イデアル構造の観点から完全正規であるための条件は何か？
• RQ5 順序的イデプotentは、完全正規順序半群における二重イデアルの生成と最小性とどのように関係するか？

主な発見

• 完全正規順序半群におけるすべての二重イデアルは最小であり、すべての最小二重イデアルは二重単純である。
• 正規順序半群 S は、S がその最小二重イデアルの和集合であるとき、かつそのときに限り、完全正規である。
• 順序半群におけるすべての最小二重イデアルは、最小左イデアルと最小右イデアルの積である。
• 完全正規順序半群において、すべての二重イデアルは主的であり、順序的イデプotentによって生成される。
• 二重イデアル B が最小であるための必要十分条件が、B が二重単純であることである。これにより、最小性と二重単純性の直接的な同値性が確立される。
• 半群 S が完全正規であるための必要十分条件は、すべての a ∈ S に対して B(a) = B(a²) であることである。これは、a ≤ a² または a ∈ (a²Sa²] または a ≤ a⁴ を意味する。