[論文レビュー] Minimal Cohomology Classes and Jacobians

Olivier Debarre|ArXiv.org|Jan 6, 1993

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 32

ひとこと要約

この論文は、複素曲線のヤコビ多様体における最小コhomology類を持つ有効代数的サイクルを分類し、そのようなサイクルがちょうど $ W_{g-d}(C) $ または $ -W_{g-d}(C) $ の平行移動であることを証明する。$ 1 < d < g $ の場合、ヤコビ多様体の系列と立方三重の間隔ヤコビ多様体は、$ \theta_d $ が有効サイクルのクラスであるとされる唯一の既知の例であり、これらのクラスの最小性に関する予想を支持する。

ABSTRACT

We show that on the Jacobian $(JC,θ)$ of a smooth curve $C$ of genus $g$, any effective cycle in $JC$ with cohomology class $θ^d/d!$ is a translate of $W_{g-d}(C)$ or $-W_{g-d}(C)$. We then use this result to prove that for $1

研究の動機と目的

• 複素曲線のヤコビ多様体における、最小コhomology類 $\theta_d$ を持つすべての有効代数的サイクルを分類すること。
• $ 1 < d < g $ の場合、ヤコビ多様体の系列と立方三重の間隔ヤコビ多様体が、$\theta_d$ が有効サイクルのクラスであるとされる principally polarized abelian varieties の唯一の例であるかどうかを調査すること。
• ヤコビ多様体（および間隔ヤコビ多様体）の系列が、$\theta_d$ が有効であるような ppav のモジュライ空間の既約成分であるという予想の弱い形を証明すること。

提案手法

• コhomology 上のカップ積または収縮写像の単射性に基づく、アーベル多様体内の非退化部分多様体の概念を用いる。
• 部分多様体に対する性質 $({\cal P})$ を適用：$V$ が $W$ に対して $({\cal P})$ を持つとは、加法写像のもとで $V \times W$ と $W$ の両方を支配する唯一の部分多様体が $\{v\} \times W$ であることを意味する。
• 対称積 $C^{(g-d)}$ と $JC$ 内の部分多様体 $W_{g-d}(C)$ の間にアーベル・ジャコビ写像を用いて関係を確立し、クラス $\theta_d$ を得る。
• 松坂の基準とランの結果を用いて、$d = g-1$ および $g=4, d=2$ の場合を基礎的ケースとして確立する。
• 変形理論とモジュライ空間 $\partial{\cal C}_{g,d}$ の境界の構造を用いて、サイクルの閉包とその成分を分析する。
• $\partial{\cal F}$ と $\partial{\cal A}_{g+1}$ の交わりを分析し、$\cal F$ が $\cal J_{g+1}$ または $\cal CT_5$ でなければならないことを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヤコビ多様体の系列と立方三重の間隔ヤコビ多様体は、$1 < d < g$ の場合、$\theta_d$ が有効代数的サイクルのクラスであるとされる principally polarized abelian varieties の唯一の例であるか？
• RQ2 ヤコビ多様体 $JC$ 内で最小コhomologyクラス $\theta_d$ を持つ任意の有効サイクルのクラスが、$W_{g-d}(C)$ または $-W_{g-d}(C)$ の平行移動であることを示せるか？
• RQ3 $1 < d < g$ の場合、ヤコビ多様体の系列は、$\theta_d$ が有効であるような ppav の集合の既約成分であるか？
• RQ4 $\partial{\cal C}_{g,d}$ の境界の構造は何か？ そして $\cal J_g$ と $\cal CT_5$ の系列とはどのように関係するか？
• RQ5 $\cal C_{g,d} = \cal J_g$（$g=5, d=3$ を除く）という予想は成り立つか？ また、$\cal CT_5$ は例外的な場合に果たす役割は何か？

主な発見

• ヤコビ多様体 $JC$ 内の、コhomologyクラスが $\theta_d$ である任意の有効代数的サイクルは、$W_{g-d}(C)$ または $-W_{g-d}(C)$ の平行移動に他ならない。これはヤコビ多様体における主定理の証明である。
• $1 < d < g$ の場合、ヤコビ多様体の系列と立方三重の間隔ヤコビ多様体は、$\theta_d$ が有効であるとされる唯一の既知の例であり、これらのクラスの最小性に関する予想を支持する。
• 弱い形の予想が証明された：$1 < d < g$ の場合、ヤコビ多様体の系列（$g=5, d=3$ の場合に限って間隔ヤコビ多様体の系列も含む）は、$\theta_d$ が有効であるような ppav のモジュライ空間の既約成分である。
• $g=5$, $d=3$ の場合、系列 $\cal C_{5,3}$ は $\cal J_5$ と $\cal CT_5$ を含み、$\partial{\cal C}_{5,3} = \partial(\cal J_5 \cup \cal CT_5)$ である。これは例外的な場合を示している。
• 境界の解析により、$\cal F \supset \cal J_{g+1}$ ならば $\dim \partial{\cal F} \leq 3g-1$、$\cal F \supset \cal CT_5$ ならば $\dim \partial{\cal F} \leq \dim \cal J_4$ であることが導かれ、$\cal F$ が $\cal J_{g+1}$ または $\cal CT_5$ でなければならないことが結論づけられる。
• 結果により、$1 < d < g$ かつ $(g,d) \neq (5,3)$ の場合、$\cal C_{g,d} = \cal J_g$ であるという予想が強く支持され、例外的な場合に $\cal C_{5,3} = \cal J_5 \cup \cal CT_5$ であることが示された。