[論文レビュー] Minimal Connectivity

Matthias Kriesell|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2011

Interconnection Networks and Systems参考文献 62被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、最小かつ臨界的k連結グラフを調査し、辺削除、頂点削除、辺収縮を還元操作として用い、k連結グラフを構成的に特徴付けることを目的としている。k ≥ 4のとき、収縮臨界的k連結グラフは辺収縮によって還元可能であり、辺素な木分解と線グラフの構造的性質を活用して、Lovászの高連結性線グラフに関する予想を証明している。

ABSTRACT

A k-connected graph such that deleting any edge / deleting any vertex / contracting any edge results in a graph which is not k-connected is called minimally / critically / contraction-critically k-connected. These three classes play a prominent role in graph connectivity theory, and we give a brief introduction with a light emphasis on reduction- and construction theorems for classes of k-connected graphs.

研究の動機と目的

• 辺削除、頂点削除、辺収縮といった基本的操作を用いてk連結グラフの還元手法を開発すること。
• k連結グラフにおける還元可能な要素（例えば、収縮可能または削除可能な辺）の分布と構造的性質を理解すること。
• 高連結グラフ（k ≥ 5）が、固定された数の辺を収縮することで還元可能かどうかを調査し、連結性理論における重要な予想に取り組むこと。
• 線グラフの高連結性に関するLovászの予想を、辺連結な基本グラフから導かれる線グラフの連結性を分析することで検証すること。
• 3-con-臨界的k連結線グラフの存在と性質を特定し、Slaterの予想を解決すること。

提案手法

• 最小、臨界、収縮臨界的k連結グラフの分析にあたり、主に辺削除と収縮を還元操作として用いる。
• 線グラフの概念を用いて、基本グラフGにおける辺連結性の問題をL(G)における頂点連結性の問題に変換する。
• Okamuraの定理（辺連結グラフにおける取り除けるパス）を応用し、高次元の頂点をカバーする辺素な木を構成する。
• 線グラフにおけるクリークに基づく分解：Gの各頂点xに対して、xに接続する辺はL(G)におけるクリークK_xを形成し、辺素な木に基づいて部分クリークK_x^jを定義する。
• L(G)に、任意の2頂点間でk個の開いていたパスが存在するような生成部分グラフH^1を構成する。これにより、k連結性が保証される。
• L(G)の最小次数が12k+11以上であれば、Gにおける次数が6k+6以上の頂点の集合Aは(6k+6)-連結であり、G−Aは辺を持たないことが示され、木分解が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の5連結グラフは、ある固定されたhに対して、高々h本の辺を収縮することで、より小さい5連結グラフに還元可能だろうか？
• RQ2 任意の(12k+11)-連結線グラフは、G−E(T)がk連結のままであるような生成木Tを有するだろうか？
• RQ3 3-con-臨界的k連結線グラフは存在するだろうか？また、これはSlaterの予想に何を意味するか？
• RQ4 k=4の場合、立方グラフの線グラフを通じて、収縮臨界的k連結グラフの構造をどの程度特徴付けることができるか？
• RQ5 辺素な木分解は、線グラフにおける辺削除後の連結性を保つために果たす役割は何か？

主な発見

• k ≥ 4のとき、収縮臨界的k連結グラフは豊富であり、2本の辺を収縮することでより小さいk連結グラフに還元可能である。これはk=5に対する還元フレームワークの可能性を示唆している。
• 予想1.3は支持される：任意のb頂点以上の5連結グラフは、グラフサイズに依存しない固定されたh本の辺を収縮することで還元可能である。
• 本稿では、任意の(12k+11)-連結線グラフが、G−E(T)がk連結であるような生成木Tを有することを証明した。これにより、線グラフにおける予想7.8が確認された。
• L(G)が(6k+6)-連結であり、最小次数が12k+11以上であれば、Gには次数が6k+6以上の頂点の集合Aが存在し、Aは(6k+6)-連結であり、G−Aは辺を持たない。
• Gにおいて2k+2本の辺素な木がAをカバーできることから、各T_jに最小次数2以上を満たすk+1本の辺素な部分グラフT_1,…,T_{k+1}を構成可能である。
• 3-con-臨界的k連結線グラフは存在しないことが確認され、これによりSlaterの予想はこのクラスに対して否定的に解決された。