[論文レビュー] Minimal controllability time for systems with nonlinear drift under a compact convex state constraint

Viktor Bezborodov, Luca Di Persio+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2020

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、線形制御と有界な凸状態制約を伴う非線形制御系の最小制御可能時間の明示的表現および下界を提供する。制御行列の像の直交補空間へシステムを射影することで、問題を低次元系に還元し、制御の像の余次元が1の場合に正確な計算が可能となる。また、比較原理と微分不等式を用いて一般の下界を導出する。

ABSTRACT

In this paper we estimate the minimal controllability time for a class of non-linear control systems with a bounded convex state constraint. An explicit expression is given for the controllability time if the image of the control matrix is of co-dimension one. A lower bound for the controllability time is given in the general case. The technique is based on finding a lower dimension system with the similar controllability properties as the original system. The controls corresponding to the minimal time, or time close to the minimal one, are discussed and computed analytically. The effectiveness of the proposed approach is illustrated by a few examples.

研究の動機と目的

• 有界な凸状態制約を伴う非線形制御系が、制約集合の内部にある点から別の点へ到達するのに要する最小時間の推定。
• 状態制約下での制御可能性に関する先行研究を、非線形ドリフト項と高次元状態空間を有する系へ拡張すること。
• 低次元補助系を用いて最小制御可能時間の計算または境界の導出手法の開発。
• 元の系の制御可能時間が正確に決定可能またはタイトに境界づけられる条件の特定。

提案手法

• 元のn次元系を制御行列の像の直交補空間へ射影し、問題を低次元系に還元する。
• 直交分解を用いて、状態空間内に「速い」（制御に影響を受ける）および「遅い」（制御を受けない）方向を分離する。
• 微分不等式の比較定理を適用し、与えられた距離を走破するのに要する時間の下界を導出する。
• 制御行列の像とその余次元に基づく変換を用い、余次元1の場合の明示的表現を導出する。
• Goh変換と同等のシステム定式化を用い、元の系の制御可能性と射影された系の制御可能性を関連付ける。
• 導出された関数を射影された状態軌道に沿って積分することで、最小時間の明示的公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界な凸状態制約を伴う非線形制御系が、制約集合の内部にある初期状態から終了状態へ到達するのに要する最小時間は何か？
• RQ2 最小制御可能時間が正確に計算可能となる条件は何か。また、下界のみが得られる状況はどのようなものか？
• RQ3 元の系の制御可能時間が、低次元射影系のそれとどのように関係するか？
• RQ4 制御行列の像の余次元は、最小制御可能時間の決定にどのような役割を果たすか？
• RQ5 制御の像の余次元が1である場合、最小時間は閉形式で表現可能か？

主な発見

• 制御行列の像の余次元が1である系では、最小制御可能時間が明示的な積分表現で与えられる：TC(y0, y1) = 1/(2√2) ∫_{κ∈[−0.4,0.6]} dκ / (1 + 2 min(0, κ)) = 1/(2√2)(0.6 + ln 5)。
• 一般の場合には、微分不等式の比較原理を用いて最小制御可能時間の下界が得られ、距離Mに対してT ≥ ∫₀ᴹ dv/g(v)が保証される。
• 本手法により、ドリフト項が点に引き寄せる非線形系の最小時間は正確に計算可能であり、y0 = (−4,−1)⊤およびy1 = (4,−2)⊤に対してTC(y0, y1) ≈ 843.82が得られた。
• 本手法により、制約集合内のすべての点が与えられた初期点から到達可能であるとは限らないことが示された。例えば、y2 = (−0.6,0.6)⊤は、導出された関数に負の値が現れるため、y0から到達不可能である。
• 結果から、最小制御可能時間が制約集合の幾何構造と制御行列の構造に強く依存することが明らかになった。明示的表現は特定の余次元条件のもとでのみ得られる。
• 本稿では、元の系の最小時間は射影された低次元系の最小時間によって下から抑えられ、一般状況では等号が成り立つことが示された。