[論文レビュー] Minimal degree H(curl) and H(div) conforming finite elements on polytopal meshes

Wenbin Chen, Yanqiu Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2015

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 22被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、一般化された重心座標とホイットニー形式を用いて、凸多面体メッシュ上での最小次数 $H(\mathrm{curl})$ および $H(\mathrm{div})$ 合同有限要素を構築し、辺または面の数に等しい最小の自由度数を達成する。この手法により離散 de Rham 列が保たれ、単体、平行四辺形、その他の標準的多面体上では古典的要素が再現される。

ABSTRACT

We construct H(curl) and H(div) conforming finite elements on convex polygons and polyhedra with minimal possible degrees of freedom, i.e., the number of degrees of freedom is equal to the number of edges or faces of the polygon/polyhedron. The construction is based on generalized barycentric coordinates and the Whitney forms. In 3D, it currently requires the faces of the polyhedron be either triangles or parallelograms. Formula for computing basis functions are given. The finite elements satisfy discrete de Rham sequences in analogy to the well-known ones on simplices. Moreover, they reproduce existing H(curl)-H(div) elements on simplices, parallelograms, parallelepipeds, pyramids and triangular prisms. Approximation property of the constructed elements is also analyzed, by showing that the lowest-order simplicial Nedelec- Raviart-Thomas elements are subsets of the constructed elements on arbitrary polygons and certain polyhedra.

研究の動機と目的

• 一般の凸多面体上で最小自由度数を有する $H(\mathrm{curl})$ および $H(\mathrm{div})$ 合同有限要素を開発すること。
• 一般化された重心座標を用いて、非単体的多面体メッシュへの有限要素外微分計算枠組みの拡張を行うこと。
• 構築された有限要素が離散 de Rham 複体を満たし、古典的要素の重要な性質を保持することを保証すること。
• 既存の単体、平行四辺形、および角柱上での $H(\mathrm{curl})$ および $H(\mathrm{div})$ 要素を、任意の凸多角形および多面体へ一般化すること。
• 基底関数の明示的公式を提示し、構築された要素の近似性質を分析すること。

提案手法

• 多面体上での一般化された重心座標を用いて、$H(\mathrm{curl})$ および $H(\mathrm{div})$ 空間の基底関数を定義する。
• ホイットニー形式を一般化された重心座標を介して拡張し、ベクトル値有限要素基底関数を定義する。
• 自由度数が $H(\mathrm{curl})$ については辺の数、$H(\mathrm{div})$ については面の数に等しくなるように保証し、最小性を達成する。
• 構築された有限要素空間間の整合性を保証することで、離散 de Rham 列が保たれる。
• 係数回復のための線形方程式系を、頂点-辺および面-辺の接続行列を含む形で解く。
• 解の整合性と可解性を維持するため、3次元多面体の面が三角形または平行四辺形に限られるものとする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の凸多面体メッシュ上に、最小自由度数を有する $H(\mathrm{curl})$ および $H(\mathrm{div})$ 合同有限要素を構築できるか？
• RQ2 一般化された重心座標をどのように用いることで、ホイットニー形式を非単体的多面体へ拡張できるか？
• RQ3 得られた有限要素空間は、一般多面体メッシュ上でも離散 de Rham 複体構造を保持するか？
• RQ4 提案された要素は、単体、平行四辺形、および角柱上での古典的 $H(\mathrm{curl})$ および $H(\mathrm{div})$ 要素を再現できるか？
• RQ5 任意の多角形および特定の多面体上での構築された最小次数要素の近似性質は何か？

主な発見

• 構築された $H(\mathrm{curl})$ および $H(\mathrm{div})$ 有限要素は、多面体の辺または面の数に等しい最小自由度数を達成する。
• この手法により、単体上での古典的列と同様に、離散 de Rham 複体が保たれる。
• 最小次数の単体的 Nédélec 要素および Raviart-Thomas 要素は、任意の多角形および特定の多面体上での構築要素の部分集合である。
• 基底関数は、頂点・辺・面間の接続行列を含む線形方程式系の解法により明示的に計算可能である。
• この構築法は、面が三角形または平行四辺形である3次元多面体に限定して有効であり、係数回復のための線形系の可解性が保証される。
• 既存の単体、平行四辺形、直方体、ピラミッド、および三角柱上での $H(\mathrm{curl})$ および $H(\mathrm{div})$ 要素が、任意の凸多角形および多面体へ一般化される。