[論文レビュー] Minimal digit sets for parallel addition in non-standard numeration systems

Christiane Frougny, Edita Pelantová+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2016

semigroups and automata theory参考文献 25被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、複素数または代数的基底を用いた非標準記数系における定数時間並列加算に必要な最小桁集合サイズのタイトな下界を確立する。負の整数、ガウス整数（例：$-1+i$）、有理数基底などの基底に対して、最小のアルファベットサイズが $|f(1)|$ または有理数 $eta = -a/b$ の場合の $a+b$ に丁度一致することを証明し、その界が達成可能であることを示すアルゴリズムを構成する。最小性は代数的整数論および桁集合変換技術を用いて示される。

ABSTRACT

We study parallel algorithms for addition of numbers having finite representation in a positional numeration system defined by a base $β$ in $\mathbb{C}$ and a finite digit set $\mathcal{A}$ of contiguous integers containing $0$. For a fixed base $β$, we focus on the question of the size of the alphabet allowing to perform addition in constant time independently of the length of representation of the summands. We produce lower bounds on the size of such alphabet $\mathcal{A}$. For several types of well studied bases (negative integer, complex numbers $ -1 + \imath$, $2 \imath$, and $\imath \sqrt{2}$, quadratic Pisot unit, and the non-integer rational base), we give explicit parallel algorithms performing addition in constant time. Moreover we show that digit sets used by these algorithms are the smallest possible.

研究の動機と目的

• 非標準記数系における複素数または代数的基底を用いた定数時間並列加算を可能にする最小の桁集合サイズを特定すること。
• 代表的な基底（例：$-1+i$、$2i$、$eta = -a/b$）に対して、導出されたアルファベットサイズの下界がタイトで達成可能であることを証明すること。
• 最小の桁集合を用いた明示的な並列加算アルゴリズムを開発し、入力長にかかわらずキャリブロが発生せず、定数時間で動作することを保証すること。
• 代数的整数論および桁集合変換の原則を用いて、下界を精緻化することで、従来の並列加算に関する結果を一般化すること。
• 有理数基底 $eta = -a/b$ の場合、最小のアルファベットサイズが $a + b$ であり、この界は改善不能であることを示すこと。

提案手法

• 代数的整数の最小多項式の値 $|f(1)|$ を用いて、基底 $eta$ に依存する並列加算の最小アルファベットサイズに対する一般下界を導出する。
• $p$-局所関数および桁集合変換の理論を適用し、並列加算問題をより小規模な変換問題に還元する。
• 代数的整数論を用いて共役やノルムを分析し、特に $eta$ が有理数または複素基底である場合に注目する。
• $-1+i$、$2i$、$eta = -a/b$、二次単元など特定の基底に対して、明示的な並列加算アルゴリズムを構成し、最小の桁集合を用いて定数時間で動作することを検証する。
• $(x - y)$ が $a + b$ で割り切れるという背理法的議論を用いて、有理数基底 $eta = -a/b$ の場合のアルファベットサイズの最小性を証明する。
• $p$-局所関数およびブロック変換を用いて、与えられたアルファベット上での並列加算問題を、より小さいアルファベット上での同値問題に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた代数的基底 $eta$ に対して、0 を含む連続整数桁集合の最小サイズは何か？ そのサイズが定数時間並列加算を可能にする。
• RQ2 どのクラスの基底（例：負の整数、$-1+i$ のような複素基底、$eta = -a/b$ の有理数基底）において、アルファベットサイズの下界が達成可能か？
• RQ3 基底の最小多項式の性質を用いて、並列加算の最小桁集合を代数的に特徴づけることができるか？
• RQ4 基底 $eta$ の構造（例：実数、複素数、有理数）は、定数時間加算に必要な最小アルファベットサイズにどのように影響するか？
• RQ5 同じサイズの他の桁集合へ、ある桁集合上での並列加算アルゴリズムを等価な形に変換可能か？ その際、定数時間性能は維持されるか？

主な発見

• 実代数的整数 $eta$ が最小多項式 $f(X)$ を持つ場合、並列加算の最小アルファベットサイズは $|f(1)|$ であり、この界はタイトである。
• $\beta = -1 + i$ の場合、最小アルファベットサイズは 5 であり、0 を含む連続整数桁集合のサイズ 5 であれば常に達成可能である。
• $\beta = 2i$ の場合、最小アルファベットサイズは 5 であり、桁集合 $\binom{0,\dots,3}$ がこの界を達成する。
• $\beta = i\theta$ で $\theta = \theta^2 = 2$ の場合、最小アルファベットサイズは 3 であり、$\binom{0,1}$ で十分である。
• 有理数基底 $\beta = -a/b$ で $a > b \to 1$ かつ $\text{gcd}(a,b) = 1$ の場合、最小アルファベットサイズは $a + b$ であり、この界は改善不能である。
• 二次基底で $\beta^2 = a\beta + 1$ を満たす場合、最小アルファベットサイズは $a + 2$ であり、そのサイズの連続桁集合であれば達成可能である。