[論文レビュー] Minimal forbidden induced subgraphs of graphs of bounded clique-width and bounded linear clique-width

Daniel Meister, Udi Rotics|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、経路パワーに基づく構成とその部分グラフの分析を通じて、有界なクライク幅および有界な線形クライク幅のグラフの最小の禁止誘導部分グラフを同定する。$ Z_k $ および $ S_k^+ $ がクライク幅 $ k+2 $ に対して最小であることを証明し、それらの適切な誘導部分グラフは厳密に小さい線形クライク幅を持つことから、有界クライク幅クラスの完全かつ最小の禁止部分グラフの集合を確立する。

ABSTRACT

In the study of full bubble model graphs of bounded clique-width and bounded linear clique-width, we determined complete sets of forbidden induced subgraphs, that are minimal in the class of full bubble model graphs. In this note, we show that (almost all of) these graphs are minimal in the class of all graphs. As a corollary, we can give sets of minimal forbidden induced subgraphs for graphs of bounded clique-width and for graphs of bounded linear clique-width for arbitrary bounds.

研究の動機と目的

• 有界クライク幅および有界線形クライク幅のグラフの完全かつ最小の禁止誘導部分グラフの集合を特定すること。
• 特定の経路パワーに基づくグラフ、例えば $ Z_k $ および $ S_k^+ $ が、それらのクライク幅および線形クライク幅クラスにおいて最小であることを示すこと。
• $ Z_k $ のすべての適切な誘導部分グラフが線形クライク幅 $ k+1 $ 以下であることを証明し、$ Z_k $ がクライク幅 $ k+2 $ に対して最小であることを確立すること。
• $ J_k - z_g $ のようなより大きなグラフへの埋め込み技術を用いて、任意のクライク幅および線形クライク幅の上限への特徴付けを拡張すること。

提案手法

• クライク幅を高くするため、特定の頂点順序を伴う $ k(k+1)+2 $ 頂点の $ k $-経路パワーとしてグラフ $ Z_k $ を構築する。
• 埋め込みの議論を用いる：$ Z_k $ のすべての適切な誘導部分グラフは、線形クライク幅が $ k+1 $ 以下であることが知られている $ J_k - z_g $ の誘導部分グラフに同型であることを示す。
• オープン $ k $-モデルおよびショートエンド $ k $-モデルに関する先行研究の結果を適用し、非活性ラベルを伴う線形クライク幅表現を構築する。
• 頂点の削除位置に基づく頂点集合の分割を用いて、$ S_k^+ $ のコア構造である $ F_k $ の部分グラフに対する線形 $ (k+1) $-表現を再帰的に構築する。
• 削除された頂点 $ x $ の位置に応じた場合分けを行う。バブルモデル埋め込みにおける深さのある長方形と浅い長方形を用いて、有効な線形クライク幅表現を保証する。
• 自己同型および対称性の議論を用いて取り扱うべきケースの数を削減し、特に $ x $ が頂点順序の前半にある場合に焦点を当てる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $ k \geq 0 $ に対して、クライク幅が高々 $ k $ であるグラフから除外される最小の誘導部分グラフは何か？
• RQ2 グラフが与えられたクライク幅の上限に対して最小であることをどのように証明できるか？
• RQ3 有界クライク幅のための禁止部分グラフ特徴付けを、有界線形クライク幅に拡張できるか？
• RQ4 経路パワーに基づくグラフが、有界クライク幅の最小の障害物として機能できる構造的性質は何か？
• RQ5 $ J_k - z_g $ のようなより大きなグラフへの埋め込み技術は、部分グラフの線形クライク幅の上限を証明するためにどのように役立つか？

主な発見

• $ Z_k $ はクライク幅が正確に $ k+2 $ であり、すべての適切な誘導部分グラフは線形クライク幅が $ k+1 $ 以下であるため、クライク幅 $ k+2 $ に対して最小であることが証明される。
• $ k \geq 3 $ のとき、$ Z_k $ のすべての適切な誘導部分グラフは、線形クライク幅が $ k+1 $ 以下の $ J_k - z_g $ の誘導部分グラフに同型である。
• $ S_k^+ $ は、$ k $-経路パワーに追加の頂点を加えたものとして構築され、すべての適切な誘導部分グラフが線形クライク幅が $ k+1 $ 以下であるため、線形クライク幅 $ k+2 $ に対して最小である。
• $ F_k $（$ S_k^+ $ のコア）の部分グラフに対する線形 $ (k+1) $-表現は、削除された頂点の位置に関わらず、深さのある長方形および浅い長方形の埋め込みを用いることで可能である。
• $ k=2 $ のとき、$ Z_2 $ は8頂点のパスである。その部分グラフは線形クライク幅が3以下であり、$ Z_2 - v_4 $ に対して明示的な線形3表現を構築可能である。
• これらの結果は、任意の $ k \geq 0 $ に対して、有界クライク幅および有界線形クライク幅のグラフの完全かつ最小の禁止誘導部分グラフの集合が存在することを示唆する。