[論文レビュー] Minimal geodesics on GL(n) for left-invariant, right-O(n)-invariant Riemannian metrics

Robert J. Martin, Patrizio Neff|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2014

Advanced Differential Geometry Research参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、微分幾何学の高度な道具を用いずに、変分法と古典的解析のみを用いて、GL(n) 上の左不変・右O(n)不変リーマン計量における測地線および距離の自己完備的でアクセス可能な導出を提供する。主な結果は、測地線の明示的パラメータ表示と、右コーシー＝グリーンテンソルの行列対数のノルムとしての測地線距離のグローバルな特徴付けであり、非線形弾性論におけるヘンキーひずみエネルギーと直接的に関連している。

ABSTRACT

We provide an easy approach to the geodesic distance on the general linear group GL(n) for left-invariant Riemannian metrics which are also right-O(n)-invariant. The parametrization of geodesic curves and the global existence of length minimizing geodesics are deduced using simple methods based on the calculus of variations and classical analysis only. The geodesic distance is discussed for some special cases and applications towards the theory of nonlinear elasticity are indicated.

研究の動機と目的

• 高度な微分幾何学を用いずに、GL(n) 上の測地線曲線および距離の簡素化されアクセス可能な導出を提供すること。
• GL(n) 上の左不変・右O(n)不変リーマン計量に対して、長さを最小化する測地線のグローバルな存在および一意性を確立すること。
• エネルギー最小化から導かれる測地線方程式の解を用いて、測地線曲線を明示的にパラメータ表示すること。
• 測地線距離を対数ひずみテンソルに関連づけ、非線形弾性論におけるその関連性を示すこと。
• これらの計量下でのGL(n)およびSO(n)の幾何学的性質を解明し、特別な場合における測地線距離の計算の基盤を築き、未解決の問題を特定すること。

提案手法

• エネルギー汎関数における変分法を用いて、GL(n) 上の一般の左不変・右O(n)不変リーマン計量に対する測地線方程式を導出する。
• 行列指数関数および対数関数を用いて、測地線曲線を対称正定値行列と直交変換の観点からパラメータ表示する。
• 極分解 $ F = R U $（$ R o ext{SO}(n) $, $ U = ext{Sym}^+(n) $）を適用し、SO(n) への測地線距離が $ ext{dev} ext{log}(U) $ および $ ext{tr} ext{log}(U) $ のみに依存することを示す。
• 重み付きフロベニウスノルムを用いて、測地線距離を $ ext{dist}_{ ext{geod}}(F, ext{SO}(n)) = ig\| ext{log} ig( ext{sym}(F^T F)^{1/2} ig) igig floor_{ ext{metric}} $ として特徴付ける。
• 古典的解析および行列対数関数の性質を用いて、エネルギー最小化解（長さを最小化する測地線）のグローバルな存在および一意性を証明する。
• 測地線距離がSO(n) に一致することを示し、リーマン幾何学と超弾性理論の間の関連を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 左不変・右O(n)不変リーマン計量に対して、微分幾何学の高度な道具を用いずに、変分法のみを用いてGL(n) 上の測地線曲線および距離を明示的にパラメータ表示できるか？
• RQ2 このような計量下でのGL(n) 上の長さを最小化する測地線のグローバル構造は何か？また、それらは常に存在するのか？
• RQ3 非線形弾性論における対数ひずみテンソルと、SO(n) への測地線距離との関係は何か？
• RQ4 GL⁺(n) 内の2つの行列間の測地線距離は閉形式で計算可能か？あるいは特別な場合に明示的に評価可能か？
• RQ5 これらの計量下でのGL(n)およびSO(n)の幾何的性質（曲率、非局所的距離挙動など）は何か？

主な発見

• 任意の $ F o ext{SO}(n) $ に対する測地線距離は、$ igig floor ext{log} ig( ext{sym}(F^T F)^{1/2} ig) igig floor_{ ext{metric}} $ で与えられ、ここでノルムはパrameters $ u, u_c, u $ を用いた等方的内積で定義される。
• SO(n) への測地線距離はヘンキーひずみエネルギー $ W(F) = \nu \big\| \text{dev} \text{log} \big( \text{sym}(F^T F)^{1/2} \big) \big\|^2 + \frac{\nu_c}{n} \big[ \text{tr} \text{log} \big( \text{sym}(F^T F)^{1/2} \big) \big]^2 $ に一致する。
• 測地線曲線のパラメータ表示は、測地線方程式の解 $ U(t) $ を用いて明示的に与えられ、$ U(t) = \text{exp}(tM) $（$ M \to \text{Sym}(n) $）として時間的に進化する。ここで $ M $ は初期条件によって定まる。
• これらの計量下で、GL⁺(n) 上に長さを最小化する測地線がグローバルに存在し、エネルギー汎関数の凸性およびコンパクト性の議論により保証される。
• この結果は、すべての $ F \to \text{GL}^+(n) $ に対してグローバルに成立し、$ \big\| F - \boldsymbol{\text{1}} \big\| $ が大きくても成り立つ。これにより、式 (5.20) の測地線距離の公式が局所的制限なしに有効であることが確認される。
• 本稿は、極分解 $ F = R U $ の回転部 $ R $ に依存せず、SO(n) への測地線距離が対称部 $ U $ のみに依存することを確立した。