[論文レビュー] Minimal hypersurfaces and boundary behavior of compact manifolds with nonnegative scalar curvature

Siyuan Lu, Pengzi Miao|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 32被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、非負のスカラー曲率をもつコンパクトなリーマン多様体における、空間的シュバルツシルト多様体の質量、内部最小超曲面の面積、外部境界成分の重み付き総平均曲率の間の鋭い不等式を確立する。最小超曲面とシュバルツシルト空間への等長埋め込みを組み込むことで、リーマンのペンローズ不等式を含意する準局所的質量不等式を導出し、漸近的極限においてADM質量を回復する。これは古典的な Shi-Tam 定理をブラックホールホライズン効果を含むように拡張するものである。

ABSTRACT

On a compact Riemannian manifold with boundary having positive mean curvature, a fundamental result of Shi and Tam states that, if the manifold has nonnegative scalar curvature and if the boundary is isometric to a strictly convex hypersurface in the Euclidean space, then the total mean curvature of the boundary is no greater than the total mean curvature of the corresponding Euclidean hypersurface. In $3$-dimension, Shi-Tam's result is known to be equivalent to the Riemannian positive mass theorem. In this paper, we provide a supplement to Shi-Tam's result by including the effect of minimal hypersurfaces on the boundary. More precisely, given a compact manifold $Ω$ with nonnegative scalar curvature, assuming its boundary consists of two parts, $Σ_h$ and $Σ_o$, where $Σ_h$ is the union of all closed minimal hypersurfaces in $Ω$ and $Σ_o$ is isometric to a suitable $2$-convex hypersurface $Σ$ in a spatial Schwarzschild manifold of positive mass $m$, we establish an inequality relating $m$, the area of $Σ_h$, and two weighted total mean curvatures of $Σ_o$ and $ Σ$. In $3$-dimension, the inequality has implications to both isometric embedding and quasi-local mass problems. In a relativistic context, our result can be interpreted as a quasi-local mass type quantity of $ Σ_o$ being greater than or equal to the Hawking mass of $Σ_h$. We further analyze the limit of such quasi-local mass quantity associated with suitably chosen isometric embeddings of large coordinate spheres of an asymptotically flat $3$-manifold $M$ into a spatial Schwarzschild manifold. We show that the limit equals the ADM mass of $M$. It follows that our result on the compact manifold $Ω$ is equivalent to the Riemannian Penrose inequality.

研究の動機と目的

• 非負のスカラー曲率をもつコンパクト多様体における内部最小超曲面の存在を組み込んだ Shi-Tam 定理の拡張を目的とする。
• シュバルツシルト多様体の質量、最小超曲面の面積、外部境界の重み付き総平均曲率を含む幾何学的不等式を確立すること。
• 得られた不等式が3次元においてリーマンのペンローズ不等式に同等であることを示すこと。
• 漸近的に平坦な3次元多様体における大きな座標球面に対する準局所的質量量の極限が、適切なシュバルツシルト空間への等長埋め込みのもとでADM質量に一致することを示すこと。

提案手法

• 著者たちは、空間的シュバルツシルト多様体 $ \mathbb{M}^{n+1}_m $ 上の静的ポテンシャル関数 $ N = \frac{1 - \frac{m}{2}|x|^{1-n}}{1 + \frac{m}{2}|x|^{1-n}} $ を用いて、境界成分における総平均曲率積分に重みを付ける。
• 質量 $ m $、内部最小超曲面 $ \Sigma_H $ の面積、$ \Sigma_O $ 及びそのシュバルツシルトモデル $ \Sigma $ における平均曲率の重み付き積分を含む、重要な不等式 (1.1) を導出する。
• 外部境界 $ \Sigma_O $ が $ 2 $-凸超曲面 $ \Sigma \subset \mathbb{M}^{n+1}_m $ に等長埋め込み可能であり、$ \overline{\mathrm{Ric}}(\nu,\nu) \leq 0 $ を満たすという事実に依拠する。
• 漸近的解析のために、漸近的に平坦な3次元多様体 $ M $ における大きな座標球面 $ S_r $ を考察し、その体積および平均曲率積分をモデルとなるシュバルツシルト空間のものと比較する。
• 差 $ V(r) - V_m(r) $ を計算し、$ 2\pi(\mathfrak{m} - m)r^2 + o(r^2) $ の漸近的挙動を示し、極限がADM質量 $ \mathfrak{m} $ に一致することを示す。
• 変分的解釈および準局所的質量関数の極限解析により、リーマンのペンローズ不等式への同等性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負のスカラー曲率をもつコンパクト多様体における内部最小超曲面の寄与を組み込んだ場合、Shi-Tam 定理を強化できるか？
• RQ2 等長埋め込みのもとで、シュバルツシルト多様体の質量、内部ホライズンの面積、外部境界の総平均曲率を関連付ける幾何学的不等式は存在するか？
• RQ3 シュバルツシルト空間への大きな球面の等長埋め込みに基づく準局所的質量量の極限は、元の多様体のADM質量を回復するか？
• RQ4 導出された不等式は3次元においてリーマンのペンローズ不等式に同等か？

主な発見

• 本稿は不等式 $ m + \frac{1}{n\omega_n}\int_\Sigma N H_m \, d\sigma \geq \frac{1}{2}\left(\frac{|\Sigma_H|}{\omega_n}\right)^{\frac{n-1}{n}} + \frac{1}{n\omega_n}\int_{\Sigma_O} N H \, d\sigma $ を確立し、等号成立は $ \Sigma_H $ が非空であり、かつ $ H = H_m $ のときに限る。
• 3次元において、この不等式は外部境界の準局所的質量が内部最小曲面のハーキング質量以上であることを示唆する。
• 漸近的に平坦な3次元多様体における大きな座標球面に沿った準局所的質量関数の極限は、$ \lim_{r\to\infty}\left(m + \frac{1}{8\pi}\int_{S_r} N(H_m - H)\,d\sigma\right) = \mathfrak{m} $ によりADM質量に一致することが示された。
• 体積の差 $ V(r) - V_m(r) $ は漸近的に $ V(r) - V_m(r) = 2\pi(\mathfrak{m} - m)r^2 + o(r^2) $ を満たし、リーマンのペンローズ不等式への同等性を証明する。
• 極限挙動およびフィルイン上での関数の変分的解釈により、結果は3次元においてリーマンのペンローズ不等式に同等であることが確認された。