[論文レビュー] Minimal hypersurfaces in $\HH^n imes \R$, total curvature and index

Pierre Bérard, Ricardo Sá Earp|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 26被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、$ℝ\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$ 内の最小超曲面を研究し、回転対称性を持つカテノイドと平行移動不変な例に焦点を当てる。全内在曲率が有限ならば指数が有限であることを確立し、カテノイドの指数が1であることを証明するとともに、有限指数が全内在曲率の有限性を意味するとは限らないことを示した。これは、ユークリッド空間および双曲空間における結果とは対照的である。

ABSTRACT

In this paper, we consider minimal hypersurfaces in the product space $\mathbb{H}^n imes \mathbb{R}$. We begin by studying examples of rotation hypersurfaces and hypersurfaces invariant under hyperbolic translations. We then consider minimal hypersurfaces with finite total curvature. This assumption implies that the corresponding curvature goes to zero uniformly at infinity. We show that surfaces with finite total intrinsic curvature have finite index. The converse statement is not true as shown by our examples which also serve as useful barriers.

研究の動機と目的

• 最小超曲面の幾何学的性質と安定性を、特に回転対称カテノイドと平行移動不変な例について分析すること。
• 最小超曲面のジャコビ作用素の有限指数と全内在曲率の関係を明確化すること。
• カテノイドと平行移動不変超曲面を道具として用いて、バリアおよび対称性に関する結果を確立すること。
• ユークリッド空間および双曲空間における既知の結果を、特に曲率の減衰と指数の有限性に関して、$ℝ\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$ の積空間設定に拡張すること。

提案手法

• 回転対称性および双曲的平行移動不変性を用いて、$n$ 次元カテノイド ${\mathcal{C}}_a$ と平行移動不変超曲面 ${\mathcal{M}}_d$ などの明示的例を構成すること。
• 最大原理およびアレクサンドロフの反射原理を適用し、平行なスライス上に境界を持つ最小超曲面の対称性および包含性に関する性質を導出すること。
• シモンズの式およびデ・ジョルジ＝モーザ＝ナーシュの方法を用いて、全内在曲率が有限ならば、無限遠における曲率が一様に0に収束することを示すこと。
• ジャコビ作用素 $J_M = -\Delta_M - (|A_M|^2 + \widehat{\mathrm{Ric}}(N_M))$ のスペクトル解析を通じて、超曲面の指数を計算すること。
• カテノイド ${\mathcal{C}}_a$ をバリアとして用い、対称的境界データを持つ最小超曲面の一意性および対称性定理を証明すること。
• $n \geq 3$ 維度において、全外在曲率を用いた指数の上界を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全内在曲率が有限ならば、$\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$ 内の最小超曲面の指数も有限か？
• RQ2 最小超曲面の全内在曲率が無限大であっても、その指数が有限であることは可能か？
• RQ3 回転対称最小超曲面（カテノイド）の正確な高さの上限は何か？
• RQ4 $d < 1$、$d = 1$、$d > 1$ の場合における、平行移動不変超曲面 ${\mathcal{M}}_d$ の幾何学的性質と安定性はどのように異なるか？
• RQ5 カテノイドおよび平行移動不変超曲面は、最小超曲面のディリクレ問題においてどの程度バリアとして機能するか？

主な発見

• $n$ 次元カテノイド ${\mathcal{C}}_a$ の垂直高さは $\pi/(n-1)$ で上から抑えられ、$a > 0$ 全てに対してこの上限は厳密である。
• カテノイド ${\mathcal{C}}_a$ の指数は正確に1であり、各超曲面における最大安定な回転対称領域は、一点を除いた全超曲面そのものである。
• カテノイドの族 ${\mathcal{C}}_a$ は、双曲的平行移動に関して不変な超曲面族の包絡線をなす。
• 半カテノイド ${\mathcal{C}}_a \cap (\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}_+)$ は最大安定ではないため、安定性は半空間への制限に関して保存されないことが示唆される。
• $d < 1$ の場合、平行移動不変超曲面 ${\mathcal{M}}_d$ は $\mathbb{H}^n$ 上の全垂直グラフである。$d = 1$ の場合、それは半空間上に無限大の境界データを持つ完全な非全グラフである。$d > 1$ の場合、それは等距離超曲面の外部上にバイグラフとして存在する。
• 全内在曲率が有限ならば、曲率は無限遠で一様に0に収束し、これは有限指数を意味する。しかし逆は成り立たず、全内在曲率が無限大であっても指数が有限であるカテノイドの例によってそれが示された。