[論文レビュー] Minimal model program for projective morphisms between complex analytic spaces

Osamu Fujino|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2022

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、複素解析的空間間の射 $\pi: X \to Y$ が射影的である場合に、適切な有限性およびステイン空間の条件の下で、最小モデルプログラム（MMP）を確立する。Birkar–Cascini–Hacon–McKernan の結果を解析的設定に一般化し、対数端末モデルの存在、半正則な canonical バンドル、およびステインコンpakト部分集合上で canonical 環の有限生成性を示す。解析的圏における MMP とスケーリング、豊富性予想の拡張を含む。

ABSTRACT

We discuss the minimal model program for projective morphisms of complex analytic spaces. Roughly speaking, we show that the results obtained by Birkar--Cascini--Hacon--M extsuperscript{c}Kernan hold true for projective morphisms between complex analytic spaces. We also treat some related topics.

研究の動機と目的

• 準射影的多様体に対する最小モデルプログラム（MMP）を、複素解析的空間間の射影的射へ一般化すること。
• ステインコンパクト部分集合による有限性条件を導入することで、複素解析的設定におけるMMPを定式化すること。
• $\pi$-擬効性および $\pi$-大の仮定の下で、対数端末モデルおよび canonical モデルの存在を証明すること。
• 解析的圏における canonical 環の有限生成性および canonical バンドルの半正則性を確立すること。
• 特に kawamata log terminal 対に対して、複素解析的圏における豊富性予想を扱うこと。

提案手法

• 複素解析的空間 $X$, $Y$ 間の射影的射 $\pi: X \to Y$ を用い、$Y$ がステイン空間であり、$W \subset Y$ が解析的部分集合に対して有限個の連結成分を持つステインコンパクト部分集合であると仮定する。
• Cartan の定理 A を適用し、ステイン空間上の coherent sheaf の全域的生成性を保証することで、元の BCHM フレームワークにおける準射影性の代わりに用いる。
• $K_X + \Delta$ が $\mathbb{Q}$-Cartier である場合に帰着し、nef ディバイザーの有限線形結合を用いて半正則性を証明する。
• Hironaka の平坦化定理および bimeromorphic 変換を用い、系列の射およびメラモーフィック写像を構成し、半正則モデルに至る。
• canonical 環 $R(X/Y, K_X + \Delta)$ を用い、nef かつ big なディバイザーのケースに還元することで、局所的有限生成性を証明する。
• 安定および増分ベースロケイの理論を用い、基本的なステイン近傍系の存在を活用して有限性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影的射の複素解析的空間間における MMP とスケーリングは、拡張可能か？
• RQ2 $\mathbb{Q}$-因子的 kawamata log terminal 対が、ステインコンパクト部分集合上で対数端末モデルをもつための条件は何か？
• RQ3 解析的設定において、canonical 環 $R(X/Y, K_X + \Delta)$ は $\mathcal{O}_Y$-代数として有限生成か？
• RQ4 kawamata log terminal 対に対して、複素解析的圏における豊富性予想は成り立つか？
• RQ5 $K_X + \Delta$ が、ステインコンパクト部分集合の近傍で半正則であることは、どのように確立できるか？

主な発見

• $Y$ がステイン空間であり、$W \subset Y$ が解析的部分集合に対して有限個の連結成分を持つステインコンパクト部分集合であるとき、複素解析的空間間の射影的射に対して、MMP とスケーリングが存在する。
• canonical 環 $R(X/Y, K_X + \Delta)$ は、$\mathcal{O}_Y$-代数として局所的に有限生成であり、代数的設定における有限生成性の結果を一般化する。
• $K_X + \Delta$ が $\pi$-擬効的かつ $\pi$-大であるとき、$K_X + \Delta$ は $Y$ 上で対数端末モデルをもつ。
• $K_X + \Delta$ が $\mathbb{Q}$-Cartier かつ $W$ 上で nef であるとき、有限性仮定のもとで、$W$ のある開近傍で $K_X + \Delta$ は半正則である。
• Kawamata log terminal 対に対して、$K_X + \Delta$ が $\pi$-擬効的かつ $\pi$-大であり、$W$ の近傍で $K_X + \Delta$ が半正則であるとき、豊富性予想は解析的設定で成り立つ。
• 有限性条件 (P4) の下で、解析的 pl-フラップおよび対数端末モデルの存在が確立され、代数的 MMP が解析的圏へ拡張される。