[論文レビュー] Minimal modified energy control for fractional linear control systems with the Caputo derivative

Dorota Mozyrska, Delfim F. M. Torres|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2010

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 24被引用数 40

ひとこと要約

本稿では、Caputo微分を用いた分数線形制御系に対して、修正された可制御性グラミアンを用いて最適なステアリング制御を導出する、最小限の修正を施したエネルギー制御則を提案する。主な貢献は、∫₀ᵀ|(T−t)^(α−1)u(t)|²dt を最小化する最小エネルギー制御の明示的公式であり、α→1 の極限で古典的結果に還元される。

ABSTRACT

Fractional control systems with the Caputo derivative are considered. The modified controllability Gramian and the minimum energy optimal control problem are investigated. Construction of minimizing steering controls for the modified energy functional are proposed.

研究の動機と目的

• 分数線形制御系に Caputo微分を用いた最小エネルギー最適制御問題を扱う。
• t=T における特異性を補償する修正エネルギー関数を構築し、適切に定義された最適化を可能にする。
• 任意の初期状態から所望の最終状態にシステムをステアリングする最適制御則の明示的公式を導出する。
• システムが可制御である条件と、最適制御が一意に定義される条件を確立する。
• α∈(0,1] の分数階設定に、古典的線形二次制御結果を一般化する。

提案手法

• t=T における Caputo微分の特異性に対処するため、修正エネルギー関数 ∫₀ᵀ|(T−t)^(α−1)u(t)|²dt を導入する。
• α-指数行列関数 eα^At = t^(α−1)Eα,α(At^α) を用いて、修正可制御性グラミアン QT を定義する。
• 変分法を用いて修正エネルギー関数に適用し、最適制御 u̅(t) = B^T S(T−t)^T Q_T^(-1) (b − S₀(T)a) を導出する。
• 分数積分・微分の部分積分法（命題2.2および2.5）を用い、リーマン＝リーマン微分と Caputo微分を関連付ける。
• Riemann–Liouville微分を用いた代替制御則を構築し、û(t) = K₁ψ(t) + K₂D^α_0+ψ(t) + ⋯ + K_n R^{α,n−1}_{0+}ψ(t) として表現する。ここで ψ(t) = g(t)(b − S₀(T)a)φ(t) である。
• 行列恒等式 [A|B]K = I を用い、可制御性を保証するとともに、ランク条件 rank[A|B] = n から制御則を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数階制御系に Caputo微分を用いた最小エネルギー制御問題を、t=T における特異性にもかかわらず適切に定式化する方法は何か？
• RQ2 修正エネルギー関数 ∫₀ᵀ|(T−t)^(α−1)u(t)|²dt を最小化する最適制御則の明示的形は何か？
• RQ3 システムが可制御である条件は何か？ また、修正グラミアン QT の正則性とはどのように関係するか？
• RQ4 QT の逆行列を計算せずに、最適制御をシステム行列 A と B の形で直接表現できるか？
• RQ5 分数階数 α が 1 に近づくとき、結果が古典的線形制御理論にどのように還元されるか？

主な発見

• 修正エネルギー関数を最小化する最適制御は、u̅(t) = B^T S(T−t)^T Q_T^(-1) (b − S₀(T)a) で与えられる。ここで S(t) = t^(α−1)/Γ(α) かつ S₀(t) = 1 である。
• 修正グラミアン QT は QT = ∫₀ᵀ S(T−t) B B^T S(T−t)^T dt として定義され、その正則性は可制御性と同値である。
• α→1 のとき、最適制御は古典的 LQR 解に還元される：u̅(t) = B^T e^{A^T(T−t)} (b − e^{AT}a)。
• 最小修正エネルギー値は m = ||Q_T^(-1/2)(b − S₀(T)a)||² で与えられ、スカラー系では m = Γ²(α)(b−a)²/T として明示的に計算可能である。
• Riemann–Liouville微分を用いた代替制御則 û(t) = K₁ψ(t) + K₂D^α_0+ψ(t) + ⋯ + K_n R^{α,n−1}_{0+}ψ(t) が、ランク条件 rank[A|B] = n を満たす限り有効である。
• 制御 û(t) は、時間 T において初期状態 a から最終状態 b に状態を正確に移行させることができ、かつ修正関数の下でエネルギーが最小化される。