[論文レビュー] Minimal $P$-symmetric periodic solutions of nonlinear Hamiltonian systems

Shanshan Tang|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ハミルトニアン関数の成長条件が超二次的、漸近的に線形的、および低次二次的である場合に、一階非自励ハミルトニアン系に対して最小 $P$-対称周期解の存在を確立する。臨界点理論、ガラーキン近似、およびマスロフ $P$-インデックスの反復不等式を用いて、最小 $P$-対称周期 $k\tau$ または $\frac{k\tau}{k+1}$ を持つ非定数 $P$-解の存在を証明し、既存の文献における結果を拡張する。

ABSTRACT

In this paper some existence results for the minimal P-symmetric periodic solutions are proved for first order autonomous Hamiltonian systems when the Hamiltonian function is superquadratic, asymptotically linear and subquadratic. These are done by using critical points theory, Galerkin approximation procedure, Maslov $P$-index theory and its iteration inequalities.

研究の動機と目的

• ハミルトニアン関数の成長条件がさまざまな場合に、一階非自励ハミルトニアン系に対して最小 $P$-対称周期解の存在を確立すること。
• マスロフ $P$-インデックス理論およびその反復不等式を組み込むことにより、$P$-解の既存の結果を拡張し、$P$-対称周期の最小性を保証すること。
• ハミルトニアンが超二次的、漸近的に線形的（可能性として退化する）、および低次二次的である場合を分析し、統一的な存在基準を提示すること。
• 変分法およびコンパクト性の議論を用いて、最小 $P$-対称周期 $k\tau$ または $\frac{k\tau}{k+1}$ を持つ非定数 $P$-解の存在を証明すること。

提案手法

• $P$-対称 $C^1$-関数の空間上で臨界点理論を用い、$P$-境界値問題の解を見つける。
• 有限次元の $P$-対称関数の部分空間上で、ガラーキン近似手順を適用して近似解の列を構成する。
• マスロフ $P$-インデックスおよびその反復不等式を用いて、モーレス指数を推定し、$P$-対称周期の最小性を特定する。
• パラメータ $H''(x)$ に正定値性および強有界性の条件を課すことにより、パライス＝スムース条件および最小化列のコンパクト性を保証する。
• 変分解析におけるリンク定理（例：ホモロジカルリンク）を用いて、作用関数の臨界点の存在を確立する。
• $P$-対称周期の定義：$T = \min\{\lambda > 0 \mid x(t + \lambda/k) = P x(t) \text{ for all } t\}$ を用いて、最小解を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一階非自励ハミルトニアン系が、最小 $P$-対称周期 $k\tau$ または $\frac{k\tau}{k+1}$ を持つ $P$-対称周期解を有するための条件は何か？
• RQ2 マスロフ $P$-インデックスおよびその反復不等式を用いることで、$P$-対称周期の最小性をどのように保証できるか？
• RQ3 ハミルトニアン $H$ に対する成長条件（超二次的、漸近的に線形的、低次二次的）は、どのようにしてこのような最小解の存在を保証するか？
• RQ4 漸近的行列 $h_\infty$ が退化している場合、または $H^\prime(x)=0$ が原点でのみ成立する場合に、非定数 $P$-解の存在をどのように確立できるか？

主な発見

• 超二次的 $H$ の場合、条件 (H0)–(H3)、(HX1)–(HX3)、および $(P)_k$ 条件の下で、最小 $P$-対称周期 $k\tau$ または $\frac{k\tau}{k+1}$ を持つ $P$-解が存在する。
• 漸近的に線形的 $H$ の場合、(H0)–(H5)、(HX1)–(HX4) の下で、さらに $\nu_P(h_\infty)$ および $G_\infty(x) = H(x) - \frac{1}{2}(h_\infty x,x)$ の振る舞いに関する追加制約の下で、そのような解の存在が証明される。
• $H$ が低次二次的で、(H8)–(H10) を満たす場合、ホモロジカルリンクおよびパライス＝スムース条件を用いて、最小 $P$-対称周期を持つ非定数 $P$-解の存在が保証される。
• 解 $x_0$ は条件 $\{x : H^\prime(x) = 0\} = \{0\}$ の下で非定数であり、そのモーレス指数は $i_P(x_0) \leq \dim \ker_{\mathbb{R}}(P - I)$ を満たす。
• 最小 $P$-対称周期が $k\tau$ または $\frac{k\tau}{k+1}$ であることが示され、後者はマスロフ $P$-インデックスの反復構造に起因する。
• リウらの既存の研究を一般化し、特に非退化でない場合にも最小 $P$-解の存在が拡張されている。