[論文レビュー] Minimal period estimates for brake orbits of nonlinear symmetric Hamiltonian systems

Chungen Lıu|ArXiv.org|Aug 1, 2009

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非線形対称ハミルトニアン系において、超二次的および凸性条件の下でブレーキ軌道の最小周期の推定を確立する。$L_0$-インデックス理論と反復不等式を用いて、任意の $\tau > 0$ に対して、最小周期が $\tau$ または $\tau/2$ の $\tau$-周期的ブレーキ軌道が少なくとも1つ存在することを証明し、リーバノイツの予想を、厳密な凸性および成長条件を緩和した設定に拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we consider the minimal period estimates for brake orbits of nonlinear symmetric Hamiltonian systems. We prove that if the Hamiltonian function $H\in C^2(\Bbb R^{2n}, \Bbb R)$ is super-quadratic and convex, for every number $τ>0$, there exists at least one $τ$-periodic brake orbit $(τ,x)$ with minimal period $τ$ or $τ/2$ provided $H(Nx)=H(x)$.

研究の動機と目的

• リーバノイツの予想が、対称ハミルトニアン系におけるブレーキ軌道の文脈で最小周期解に対して成立するかを検討すること。
• ハミルトニアンの超二次的および凸性条件の下で、$\tau$-周期的ブレーキ軌道の最小周期推定を確立すること。
• 従来の結果を、厳密な凸性および超二次的成長の仮定を緩和することで一般化すること。
• $L_0$-インデックス理論と反復不等式を発展・応用し、ブレーキ軌道の最小周期を分析すること。
• 任意の $\tau > 0$ に対して、最小周期が $\tau$ または $\tau/2$ である幾何学的に異なるブレーキ軌道の存在を証明すること。

提案手法

• $L_0 = \{0\} \times \mathbb{R}^n$ であるラグランジュ境界値問題におけるシンプレクティックパスの $L_0$-インデックス理論を用いる。
• $k$-重反復ブレーキ軌道に関連する反復パス $\gamma^k$ の $L_0$-インデックスを推定するために反復不等式を適用する。
• ヒルベルト空間 $E^\omega$ における自己共役作用素のコンパクトな摂動を取り扱うために、ガラーキン近似による相対インデックス $I(A, A-B)$ を導入する。
• 固有値を渡る際の不連続性とインデックスのジャンプを追跡するために、マスロフ型インデックス $i_{L_0}^{\omega}(B)$ とノルム $\nu_{L_0}^{\omega}(B)$ を用いる。
• 区間全体でのインデックス増加を制限する不等式 $i_{L_0}^{\omega_0}(B) \geq i_{L_0}(B) + n - \sum_{0 \leq \theta \leq \theta_0} \nu_{\omega}^{L_0}(B)$ を確立する。
• 相対インデックスと標準 $L_0$-インデックスを結ぶ公式 $I(A_1, A_1 - B_1) = i_{L_0}(B) + n$ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $\tau > 0$ に対して、超二次的かつ対称的なハミルトニアン系は、最小周期が $\tau$ または $\tau/2$ であるブレーキ軌道を有するか？
• RQ2 最小周期推定が、厳密に凸なハミルトニアンを超えて拡張可能か？
• RQ3 $L_0$-インデックス理論の反復不等式は、周期的解の最小周期をどのように制約するか？
• RQ4 固有値を渡る際の $L_0$-インデックスおよびその変化は、最小周期を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 ハミルトニアンの凸性条件 $H''(x) > 0$ を緩和しても、最小周期推定は保持されるか？

主な発見

• 任意の $\tau > 0$ に対して、条件 (H1)–(H5) の下で、最小周期が $\tau$ または $\tau/2$ である $\tau$-周期的ブレーキ軌道が少なくとも1つ存在する。
• 超二次的条件 (H2) を $H(x) = \frac{1}{2}(Bx,x) + \tilde{H}(x)$ とし、$\tilde{H}$ が (H2) を満たすように緩和しても、最小周期結果は成立する。
• 凸性条件 (H5) は $H''(x(t)) \geq 0$ for all $t$ およびすべてのブレーキ軌道に対して $\int_0^{\tau/2} H''(x(t))\,dt > 0$ に緩和される。
• $L_0$-インデックスは $i_{L_0}^{\omega_0}(B) \geq i_{L_0}(B) + n - \sum_{0 \leq \theta \leq \theta_0} \nu_{\omega}^{L_0}(B)$ を満たし、和は $n$ で有界である。
• インデックス関数 $i_{\omega}^{L_0}(B)$ は局所定数であり、不連続点におけるジャンプはノルム $\nu_{\omega}^{L_0}(B)$ で有界である。
• 相対インデックス $I(A_1, A_1 - B_1) = i_{L_0}(B) + n$ は、$\omega = 1$ の場合に標準インデックスと $L_0$-インデックスを結ぶ重要なリンクを提供する。