[論文レビュー] Minimal Prüfer-Dress rings and products of idempotent matrices

Laura Cossu, Paolo Zanardo|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2018

Rings, Modules, and Algebras参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、特に $\mathbb{R}(X)$ 上の最小ドレッシング環 $D$ を対象とし、それが非可換な主理想的でないイデアルを明示的に特徴づけたデデキンド整域であることを証明する。また、有理関数の係数に関する次数および符号の条件を用いて、形式 $\begin{pmatrix}p&q\\ 0&0\end{pmatrix}$ の $2\times2$ 特異行列が冪等行列の積である条件を確立する。

ABSTRACT

We investigate a special class of Prüfer domains, firstly introduced by Dress in 1965. The {\it minimal Dress ring} $D_K$, of a field $K$, is the smallest subring of $K$ that contains every element of the form $1/(1+x^2)$, with $x\in K$. We show that, for some choices of $K$, $D_K$ may be a valuation domain, or, more generally, a Bézout domain admitting a weak algorithm. Then we focus on the minimal Dress ring $D$ of $\mathbb{R}(X)$: we describe its elements, we prove that it is a Dedekind domain and we characterize its non-principal ideals. Moreover, we study the products of $2 imes 2$ idempotent matrices over $D$, a subject of particular interest for Prüfer non-Bézout domains.

研究の動機と目的

• 体 $K$ の最小ドレッシング環 $D_K$ を特徴づけること、特に $K = \mathbb{R}(X)$ の場合にその代数的構造を特定すること。
• このような環が性質 $(\text{ID}_2)$ を満たすかどうかを調査すること、すなわち、すべての $2\times2$ 特異行列が冪等行列の積に分解可能かどうかを検証すること。
• プリューファー整域上での行列の因子分解と、$(\text{ID}_2)$ がベズー整域の構造を示すという予想との関係を明らかにすること。
• 有理関数の係数の次数および符号の振る舞いに基づいた、行列が冪等行列に分解可能であるための明示的基準を提示すること。

提案手法

• 体 $K$ の最小ドレッシング環 $D_K$ を、$\mathbb{Z}_\chi$ およびすべての $x \in K$ に対して $1/(1+x^2)$ を含む $K$ の最小部分環として定義する。ここで $\chi$ は $K$ の特徴数を表す。
• $D = D_{\mathbb{R}(X)}$ が、そのイデアルと生成元を分析することにより、ネーター的で、整閉であり、すべての非ゼロ素イデアルが極大であることを示すことで、デデキンド整域であることを証明する。
• 有理関数 $p = x/\gamma$, $q = y/\gamma$ を $\gamma \in \Gamma$ を用いて正規化する還元技術を用い、$\deg \gamma \leq \deg x + 1$ となるようにすることで因子分解を簡略化する。
• 鍵となる補題（補題 3.2）を適用し、$\Gamma$ 内の多項式 $\beta$ を構成し、$\delta = x^2 + y\beta \in \Gamma^+$ となるようにする。これにより、冪等行列 $\mathbf{T}$ の構成が可能になる。
• 因子分解 $\begin{pmatrix}p&q\\ 0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\delta/\gamma & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix} \mathbf{T}$ を用いて、$\begin{pmatrix}p&q\\ 0&0\end{pmatrix}$ が冪等行列の積であることを確立する。ここで $\mathbf{T}$ は冪等行列である。
• 類似変換および行列の同値性を用いて、問題を、$p$ および $q$ の根における次数および符号の条件が因子分解を保証する場合に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小ドレッシング環 $D_{\mathbb{R}(X)}$ はデデキンド整域か？ また、その非主イデアルは明示的に特徴づけられるか？
• RQ2 有理関数 $p, q \in D_{\mathbb{R}(X)}$ に対して、行列 $\begin{pmatrix}p&q\\ 0&0\end{pmatrix}$ が冪等行列の積であるための条件は何か？
• RQ3 最小ドレッシング環 $D_{\mathbb{R}(X)}$ は性質 $(\text{ID}_2)$ を満たすか？ また、これは $(\text{ID}_2)$ がベズー整域の構造を示すという予想とどのように関係するか？
• RQ4 $D_{\mathbb{R}(X)}$ の構造を用いて、$2$-生成でないが $n$-生成であるようなプリューファー整域の例を構成できるか？

主な発見

• 最小ドレッシング環 $D = D_{\mathbb{R}(X)}$ は、ネーター的で、整閉であり、次元が $1$ で、すべての非ゼロ素イデアルが極大であるため、デデキンド整域である。
• $D$ の非主イデアルは、その生成元によって特徴づけられる：すなわち、$a, b \in \mathbb{R}[X]$、$\gcd(a,b) = 1$ かつ $\deg a > 0$, $\deg b > 0$ であるような $a/b$ によって生成されるイデアル、あるいは同様の条件により非主構造を保証するものである。
• 行列 $\begin{pmatrix}p&q\\ 0&0\end{pmatrix}$ は、$\deg p \geq \deg q$ かつ $p$ のすべての根 $u$ に対して $q(u) > 0$（または $< 0$）である、あるいは逆の場合に、冪等行列の積に分解可能である。
• 有理関数 $p = x/\gamma$, $q = y/\gamma$ で $\deg x, \deg y \leq 1$ の場合、$x$ と $y$ が共通根を持つ場合でも、行列は常に冪等行列の積に分解可能である。
• $\deg x = \deg y = 2$ で $\gcd(x,y) \notin \mathbb{R}$ である場合、行列 $\begin{pmatrix}p&q\\ 0&0\end{pmatrix}$ は、冪等行列 $\mathbf{T}$ を構成し、因子分解することで、冪等行列の積に分解可能であることが示された。
• 環 $D$ は、平方安定範囲が $1$ であるが、安定範囲に $1$ を含まないデデキンド整域の簡単な例である。これは注記 2.6 で指摘されている。