[論文レビュー] Minimal rays on surfaces of genus greater than one

Jan Philipp Schröder|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2014

Point processes and geometric inequalities参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、1より大きい genus を持つ閉じた向きつけ可能曲面上の一般 Finsler 距離に関して、最小測地線および測地線の放射を弱KAM理論を用いて研究する。その結果、S¹ に属するほとんどすべての漸近的方向 ξ に対して、最小測地線が普遍被覆（Poincaré円板）においてラミネーションをなすことが示され、またほとんどすべての測地線型に対して、最小測地線が唯一つ存在することが示された。これらの結果により、Busemann関数が定数を除いて一意的であることが確立され、不安定な最小測地線の存在が裏付けられる。

ABSTRACT

For Finsler metrics (no reversibility assumed) on closed orientable surfaces of genus greater than one, we study the dynamics of minimal rays and minimal geodesics in the universal cover. We prove in particular, that for almost all asymptotic directions the minimal rays with these directions laminate the universal cover and that the Busemann functions with these directions are unique up to adding constants. Moreover, using a kind of weak KAM theory, we show that for almost all types of minimal geodesics in the sense of Morse, there is precisely one minimal geodesic of this type.

研究の動機と目的

• 一般 Finsler 距離の下で、genus >1 の曲面の普遍被覆における最小測地線および測地線の放射のグローバル構造を理解すること。
• デック変換によって固定されない漸近的方向を分析することで、Morse が先行して得た最小測地線に関する結果を拡張すること。
• 弱KAM理論を用いて、ほとんどすべての方向に関して最小測地線および Busemann 関数の一意性を確立すること。
• Finsler幾何の文脈において、Aubry および Mather 集合を用いて最小測地線の力学的性質を特徴づけること。

提案手法

• 普遍被覆が Poincaré 円板と同一視できるものとして、弱KAM理論を用いて最小測地線および測地線の放射の構造を分析する。
• 弱KAM解の概念とその校正曲線を用いて、最小測地線の漸近的挙動を研究する。
• 前方および後方校正曲線の概念を用いて、ラミネーション構造における極値測地線を同定する。
• 漸近的方向に沿った弱KAM解の収束を用いて、連続性および一意性の性質を証明する。
• デック変換群 Γ の作用を活用して、普遍被覆における力学と底面 M の力学とを関連付ける。
• 弱KAM解の空間におけるコンパクト性および連続性の議論を用いて、極限挙動および交差性の性質を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの漸近的方向 ξ ∈ S¹ に対して、終点が ξ である測地線の境界をなす最小測地線が、普遍被覆でラミネーションをなすか？
• RQ2 ほとんどすべての漸近的方向 ξ に対して、Busemann 関数は加法的定数を除いて一意的か？
• RQ3 最小測地線の型（Morse の意味で）ごとに、普遍被覆にちょうど一つの代表が存在するか？
• RQ4 Aubry および Mather 集合は、Finsler設定における最小測地線の力学とどのように関係するか？
• RQ5 非脱進集合は、弱KAM解 u₊ⁱ(ξ) の校正グラフを用いて、底面の測地線フローに関して特徴づけられるか？

主な発見

• S¹ に属する可算集合を除くすべての ξ に対して、終点が ξ である測地線の境界をなす測地線の合併は、普遍被覆においてラミネーションをなす。これは、2本の曲線が横断的に交わらないことを意味する。
• Lebesgue 測度の意味でほとんどすべての γ ∈ ℳ に対して、端点が γ(±∞) である最小測地線の集合 ℳ(γ) には、ちょうど1本の測地線が含まれる。
• ほとんどすべての漸近的方向 ξ に対して関連する Busemann 関数は加法的定数を除いて一意的であり、漸近的幾何における強い剛性を示している。
• ほとんどすべての γ に対して ℳ(γ) に含まれる唯一の最小測地線は、定義上前方および後方の両方で不安定である。
• 底面 M 上の測地線フローの非脱進集合は、すべての ξ ∈ S¹ および i ∈ {0,1} に対して、弱KAM解 u₊ⁱ(ξ) の校正グラフの射影による像の合併に含まれる。
• 弱KAM解 u₊ⁱ(ξ) の校正曲線は、γ ∈ ℳ₊(ξ) に対して正確に境界測地線 cᵠⁱ(γ) に対応し、弱KAM理論と最小測地線の幾何的構造との間に深い関係を確立する。