[論文レビュー] Minimal representations of conformal groups and generalized Laguerre functions

Jan Möllers|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2010

Advanced Algebra and Geometry被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非ユークリッド的ジョルダン代数に関連する conformal 群の有限被覆の最小表現の統一的構成を提示し、構造群の最小軌道上の L² 空間にそれらを実現する。主な貢献は、Mp(n, R) の Segal–Shale–Weil 表現と O(p+1, q+1) の最小表現を同時に含む一般枠組みを提供することであり、共形反転作用素 FO を通じて一般化ラゲール関数および Meijer の G-変換と明示的な関係を確立する。

ABSTRACT

We give a unified construction of the minimal representation of a finite cover $G$ of the conformal group of a (non necessarily euclidean) Jordan algebra $V$. This representation is realized on the $L^2$-space of the minimal orbit $\\mathcal{O}$ of the structure group $L$ of $V$. We construct its corresponding $(\\mathfrak{g},\\mathfrak{k})$-module and show that it can be integrated to a unitary irreducible representation of $G$ on $L^2(\\mathcal{O})$. In particular, we obtain a unified approach to the two most prominent minimal representations, namely the Segal--Shale--Weil representation of the metaplectic group $\ extup{Mp}(n,\\mathbb{R})$ and the minimal representation of $\ extup{O}(p+1,q+1)$ which was recently studied by T. Kobayashi, G. Mano and B. {\\O}rsted. In the second part we investigate special functions which give rise to $\\mathfrak{k}$-finite vectors in the representation. Various properties of these special functions such as differential equations, recurrence relations and integral formulas connect to the representation theory involved. Finally, we define the conformal inversion operator $\\mathcal{F}_{\\mathcal{O}}$ by the action of the longest Weyl group element. $\\mathcal{F}_{\\mathcal{O}}$ is a unitary operator on $L^2(\\mathcal{O})$ of order 2. We show that the action of $\\mathcal{F}_{\\mathcal{O}}$ on radial functions is given by a special case of Meijer's $G$-transform.

研究の動機と目的

• 任意のジョルダン代数、特に非ユークリッド的ケースを含む、有限被覆の conformal 群の最小表現を一様に構成すること。
• 構造群の最小軌道上の L² 空間にこれらの表現を実現し、幾何学的かつ解析的枠組みを提供すること。
• Segal–Shale–Weil 表現（Mp(n, R) における）と O(p+1, q+1) の最小表現という2つの代表的な最小表現を統一すること。
• 表現空間内の k-有限ベクトルを生成する特殊関数（一般化ラゲール関数）を調査すること。
• 共形反転作用素 FO を、ワイル群の最長元の作用として定義し、その径数関数への作用を特定すること。

提案手法

• Lie 環 g とその極大コンpact部分代数 k の (g, k)-モジュール形式を用い、最小軌道 O 上の滑らかな関数への無限小作用を通じて最小表現を構成する。
• ジョルダン代数 V の構造群 L と Lie 環 g のルート空間分解を用いて、最小軌道 O を定義する。
• conformal 群の普遍被覆を用いて、(g, k)-モジュールを L²(O) 上のユニタリ無限可約表現に統合する。
• 共形反転作用素 FO をワイル群の最長元の作用として定義し、それが位数 2 のユニタリ作用素であることを証明する。
• 径数関数への FO の作用を、Meijer の G-変換の特別な場合として特徴づけ、重要な積分表現を確立する。
• 表現から生じる k-有限ベクトルから生じる一般化ラゲール関数について、微分方程式、漸化式、積分公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のジョルダン代数上の conformal 群の最小表現を、統一的な方法でどのように構成できるか？
• RQ2 最小表現と一般化ラゲール関数（k-有限ベクトルとして）との明確な関係は何か？
• RQ3 共形反転作用素 FO は L²(O) の径数関数にどのように作用するか？その作用を記述する積分変換は何か？
• RQ4 一般化ラゲール関数は、最小表現の表現論的構造をどのような意味で符号化しているか？
• RQ5 Segal–Shale–Weil 表現と O(p+1, q+1) の最小表現は、この一般枠組みの中で特別な場合として回復可能か？

主な発見

• ジョルダン代数 V の conformal 群の有限被覆 G の最小表現は、構造群 L の最小軌道 O における L²(O) 上のユニタリ無限可約表現として構成される。
• 最小表現に関連する (g, k)-モジュールは明示的に構成され、それが L²(O) 上のユニタリ表現に統合されることを示した。
• 共形反転作用素 FO は L²(O) 上の位数 2 のユニタリ作用素であり、径数関数への作用は Meijer の G-変換の特別な場合として与えられる。
• 一般化ラゲール関数は最小表現内の k-有限ベクトルとして現れ、第四階微分作用素 Dµ,ν と関連し、表現論的構造と結びつく。
• 本枠組みは、Mp(n, R) の Segal–Shale–Weil 表現と O(p+1, q+1) の最小表現を統一し、それらが一般構成の特別な場合であることを示した。
• k-カシミール作用素は各 k-型上で定数に作用し、表現の k-型分解は一般化ラゲール関数を用いて明示的に記述された。