[論文レビュー] Minimal representations: spherical vectors and automorphic functionals

David Kazhdan, Alexander Polishchuk|ArXiv.org|Sep 24, 2002

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、局所非アーキメデス的体上の単純連結単純分解型 $D_k$ または $E_k$ 型の簡素な代数群の最小表現における球面的ベクトルの明示的公式を、ヘッケ作用素、有限フーリエ変換、および $D_4$ の二次錐を用いた実現法を用いて導出する。さらに、対応するアデール群の最小表現における自動形式的関数の性質を記述し、局所的球面的ベクトルとグローバルな自動形式との間の関係を確立する。

ABSTRACT

In the first part of this paper we study minimal representations of simply connected simple split groups of type $D_k$ or $E_k$ over local non-archimedian fields. Our main result is an explicit formula for the spherical vectors in these representations. In the case of real and complex groups such a formula was obtained recently in hep-th/0107222. We also use our techniques to study the structure of the space of smooth vectors in the minimal representation recovering some results of Magaard and Savin. In the second part we consider groups as above defined over a global field. In this situation we describe the form of the automorphic functional on the minimal representation of the corresponding adelic group.

研究の動機と目的

• 局所非アーキメデス的体上の分解型 $D_k$ および $E_k$ 型の簡素な代数群の最小表現における球面的ベクトルの明示的公式を計算すること。
• 最小表現における滑らかベクトルの空間の構造を分析し、特に-compactly 細胞関数の部分空間による商を特定すること。
• 球面的ベクトルの公式を用いて、アデール群 $G(\mathbb{A})$ の最小表現における自動形式的関数の形を記述すること。
• 立方形式の勾配グラフ上でのラインバンドルとジャケュ・ファンクターを含む幾何学的・表現論的枠組みを構築すること。
• アーキメデス的状況からの結果を、特に $D_4$ および高次 $D_k$, $E_k$ 型に対して非アーキメデス的状況へ拡張すること。

提案手法

• $D_4$ の場合、二次錐上の関数としての最小表現の別種の実現法を用い、[2] の結果を適用して球面的ベクトルを同定する。
• $D_k$ および $E_k$ ($k \geq 4$) の場合、スアビン [13] および ルシュティグ [10] の結果を用いて、Iwahori不変ベクトルへのヘッケ作用素の作用を分析し、球面的ベクトルを定数倍を除いて同定する。
• 有限フーリエ変換を用いた直接計算により、未知の定数を特定する。
• 関数 $f \in R$ に対して、漸近的関数 $\overline{f}(x_0,\dots,x_n) = \lim_{y\to 0} \psi(\frac{I_G(x_1,\dots,x_n)}{x_0 y}) f(y,x_0,x)$ を定義し、$I_G/x_0$ の勾配のグラフとして定義される多様体 $C$ 上のラインバンドル $\mathcal{L}$ の局所定数的セクションへの拡張を示す。
• このようなセクションの空間がジャケュ・ファンクター $J(R)$ と一致することを示し、これは一様次元表現と、リーマン部分群 $L(F)$ の最小表現における滑らかベクトルの直和に同型であり、特性によりねじれられる。
• 球面的ベクトルの公式を用いて、特に $\mathbb{F}_q$ 上の楕円曲線の場合に、アデール群 $G(\mathbb{A})$ 上の自動形式的関数を導出する。これには、異なる除数型の寄与を分析し、ゼータ関数の恒等式を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所非アーキメデス的体上の分解型 $D_k$ または $E_k$ 型の簡素な代数群の最小表現における球面的ベクトルの明示的公式は何か？
• RQ2 最小表現における滑らかベクトルの空間の構造はどのようになっており、特にコンパクト台付き関数の部分空間による商はどのような性質を持つのか？
• RQ3 グローバル体におけるアデール群 $G(\mathbb{A})$ の最小表現における自動形式的関数の形は何か？
• RQ4 最小表現に属する関数の漸近的性質は、ジャケュ・ファンクターおよびリーマン部分群の表現論とどのように関係するか？
• RQ5 自動形式的関数は、ゼータ関数および有限体上の曲線の点数の計数を用いて表現可能か、特に楕円曲線の場合にそうか？

主な発見

• $D_k$ および $E_k$ 型の局所非アーキメデス的体上では、ヘッケ作用素と有限フーリエ変換を用いて球面的ベクトルが明示的に計算され、定数倍を除いた形が得られ、直接計算により定数が特定される。
• $D_4$ の場合、二次錐上での実現法とフーリエ型の交差作用素を用いて球面的ベクトルが特定され、高次 $D_k$ へ一般化可能である。
• すべての $f \in R$ に対して、極限 $\overline{f}(x_0,\dots,x_n) = \lim_{y\to 0} \psi(\frac{I_G(x_1,\dots,x_n)}{x_0 y}) f(y,x_0,x)$ が存在し、$I_G/x_0$ の勾配のグラフとして定義される多様体 $C$ 上のラインバンドル $\mathcal{L}$ の局所定数的セクションへ拡張可能である。
• このようなセクションの空間 $\operatorname{res}(f)$ はジャケュ・ファンクター $J(R)$ と一致し、これは一様次元表現と、リーマン部分群 $L(F)$ の最小表現における滑らかベクトルの直和に同型であり、特性によりねじれられる。
• $\mathbb{F}_q$ 上の楕円曲線 $X$ に対して、自動形式的関数の係数は $\alpha_1(f_0) = 1 + \frac{q^s N}{(q^{s+1}-1)(q^s-1)}$ および $\alpha_2(f_0) = q^{2s+1} + 1 + \frac{q(q^{4s+2}-1)(q^s+1)}{q^{s+2}-1} - \frac{(q^{2s+1}+1)N}{(q^{s+2}-1)(q^s-1)}$ で与えられ、ここで $N$ は $\mathbb{F}_q$-点の数である。
• 任意の曲線に対して $\alpha_1(f_0) = q^{(2g-2)(s+1)} L(X, q^s)$ が成り立つと予想される。ここで $L(X,t)$ は曲線 $X$ の $L$-関数である。