[論文レビュー] Minimal spectral representations of infinitely divisible and max-infinitely divisible processes

Zakhar Kabluchko, Stilian Stoev|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、和および最大無限可除過程のスペクトル表現における最小性を導入し、ボレル空間上での最小スペクトル表現の存在および一意性を証明する。また、これらのタイプの定常的かつ確率的連続な過程が、σ-有限ボレル測度空間上の一意な測度保存型フローによって生成可能であることを確立し、統一的分類枠組みを構築する。これにより、ペンローズ型およびポアソン線過程に基づくランダム場といった新しいモデルが得られる。

ABSTRACT

Introduced is the notion of minimality for spectral representations of sum- and max-infinitely divisible processes and it is shown that the minimal spectral representation on a Borel space exists and is unique. This fact is used to show that a stationary, stochastically continuous, sum- or max-i.d. random process on $\mathbb{R}^d$ can be generated by a measure-preserving flow on a $\sigma$-finite Borel measure space and that this flow is unique. This development makes it possible to extend the classification program of Rosinski (Ann. Probab. 23 (1995) 1163-1187) with a unified treatment of both sum- and max-infinitely divisible processes. As a particular case, a characterization of stationary, stochastically continuous, union-infinitely divisible random measurable subsets of $\mathbb{R}^d$ is obtained. Introduced and classified are several new max-i.d. random field models including fields of Penrose type and fields associated to Poisson line processes.

研究の動機と目的

• 和および最大無限可除過程のスペクトル表現における最小性の概念を定義し、それを確立すること。
• これらの過程に対して、ボレル空間上での最小スペクトル表現の存在および一意性を証明すること。
• ℝᵈ 上の定常的かつ確率的連続な和または最大-i.d.過程が、σ-有限ボレル測度空間上の一意な測度保存型フローから生じることを示すこと。
• 和および最大-i.d.過程の分類を統一的枠組みで行い、ロジンスキーのプログラムを両フレームワークを含む形に拡張すること。

提案手法

• ボレル測度空間上での無限可除過程のスペクトル表現に対する最小性の概念を導入する。
• 測度論的道具を用いて最小スペクトル表現を構成し、基礎となる測度空間の構造的性質を用いてその一意性を証明する。
• 測度保存型力学系の理論を応用し、定常的かつ確率的連続な過程をσ-有限ボレル測度空間上のフローとして表現する。
• このような過程と測度保存型フローとの間の対応関係を確立し、スペクトル表現が最小である場合、フローが一意であることを示す。
• ロジンスキー（1995）の分類プログラムを、和および最大無限可除過程の両方を含む共通の枠組みに拡張する。
• 最小スペクトル表現を用いて、ペンローズ型のフィールドおよびポアソン線過程から導かれるフィールドを含む、新しい最大-i.d.ランダムフィールドモデルを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 和および最大無限可除過程の両方に対して最小スペクトル表現を定義でき、それが一意であるか。
• RQ2 ℝᵈ 上の定常的かつ確率的連続な和または最大-i.d.過程が、σ-有限ボレル測度空間上の測度保存型フローとして表現可能となる条件は何か。
• RQ3 和および最大-i.d.過程の分類を、一つの理論的枠組みで統一的に行う方法は何か。
• RQ4 最小スペクトル表現を用いて、どのような新しい最大-i.d.ランダムフィールドのクラスが構築可能か。
• RQ5 最小スペクトル表現は、ℝᵈ の可測な可測部分集合の和集合無限可除ランダム集合を特徴付ける上で果たす役割は何か。

主な発見

• ボレル空間上での和および最大無限可除過程の最小スペクトル表現は存在し、一意である。
• ℝᵈ 上の任意の定常的かつ確率的連続な和または最大-i.d.過程は、σ-有限ボレル測度空間上の一意な測度保存型フローから生じる。
• 和および最大-i.d.過程の両方を統一的に分類する枠組みが確立され、ロジンスキーの研究が拡張された。
• ℝᵈ の可測な可測部分集合の和集合無限可除ランダム集合の特徴づけが得られた。
• ペンローズ型およびポアソン線過程に関連するフィールドを含む、新しい最大-i.d.ランダムフィールドモデルが導入された。
• 最小スペクトル表現により、幾何的および空間的依存構造を持つ、これまでに未発表の最大-i.d.ランダムフィールドモデルの構築と分類が可能になった。