[論文レビュー] Minimal surfaces and harmonic diffeomorphisms from the complex plane onto a Hadamard surface

José A. Gálvez, Harold Rosenberg|ArXiv.org|Jul 7, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、曲率が負の定数以上に有界な任意のハダマード表面 𝕄 に対して、複素平面 ℂ から 𝕄 への調和微分同相写像を構成する。これは、𝕄×ℝ 内の理想測地多角形領域上での最小グラフに関するジェンキンス＝セリン型定理を証明し、コンformal type が ℂ である全最小グラフを構成することで達成される。主な結果は、このような調和微分同相写像の存在を示し、R. Schoen の予想を解決するとともに、ハイパーボリック空間からの結果を一般の負に曲げられたハダマード表面へ拡張する。

ABSTRACT

We construct harmonic diffeomorphisms from the complex plane $C$ onto any Hadamard surface $M$ whose curvature is bounded above by a negative constant. For that, we prove a Jenkins-Serrin type theorem for minimal graphs in $M imes R$ over domains of $M$ bounded by ideal geodesic polygons and show the existence of a sequence of minimal graphs over polygonal domains converging to an entire minimal graph in $M imes R$ with the conformal structure of $C$.

研究の動機と目的

• 曲率 ≤ a < 0 であるハダマード表面 𝕄 に対して、複素平面 ℂ から 𝕄 への調和微分同相写像の存在に関する R. Schoen の予想を解決すること。
• 曲率 ≤ a < 0 であるハダマード表面 𝕄 に対して、𝕄×ℝ 内の多角形領域上での最小グラフに対するジェンキンス＝セリン定理を拡張すること。
• 𝕄×ℝ 内に、コンフォーマル構造が ℂ と等価である全最小グラフの存在を証明すること。
• このようなグラフの垂直射影が、ℂ から 𝕄 への調和微分同相写像を定めることを確立すること。
• 増大する多角形領域上での近似列の収束において、最小グラフのコンフォーマル型が保存されることを示すこと。

提案手法

• 曲率 ≤ a < 0 であるハダマード表面 𝕄 に対して、𝕄×ℝ 内の理想測地多角形領域上での最小グラフに関するジェンキンス＝セリン型存在定理を証明する。
• 曲率 ≤ a < 0 であるハダマード表面 𝕄 上の拡大する多角形領域 D_n ⊂ 𝕄 上での最小グラフの列を構成し、境界データが無限遠点で所定の関数に収束するようにする。
• コンパクト集合上で 𝕄 上の u_n(p) が極限関数 u に収束することを示し、領域 K_{i+1} ∓ int(K_i) 上で一様 C² 収束を保証する。
• グローツシュの補題を用いて、各アニュラリ領域上での最小グラフのコンフォーマルモジュラスが 1 以上であることを示し、これにより全グラフがコンフォーマル型 ℂ を持つことを示す。
• 無限遠点におけるディリクレ問題を解くことで、単位円板から 𝕄 への調和微分同相写像を構成する。この際、𝕄(∞)×ℝ 内の所定の漸近境界を持つ最小グラフを用いる。
• ブーゼマン関数とホロスフィアを用いて 𝕄 の漸近幾何を定義し、最大原理を用いて最小グラフの収束性および境界挙動を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲率が負の定数以上に有界な任意のハダマード表面 𝕄 に対して、複素平面 ℂ から 𝕄 への調和微分同相写像が存在するか？
• RQ2 曲率 ≤ a < 0 であるハダマード表面 𝕄 に対して、理想測地多角形で囲まれた領域上での最小グラフに対するジェンキンス＝セリン型定理が確立可能か？
• RQ3 曲率 ≤ a < 0 である条件下で、𝕄×ℝ 内にコンフォーマル構造が ℂ と等価な全最小グラフが存在するか？
• RQ4 𝕄×ℝ 内の最小グラフの漸近境界を、𝕄(∞)×ℝ 内の連続な垂直グラフとして指定可能か？
• RQ5 増大する多角形領域上での最小グラフの列の極限として構成された全最小グラフのコンフォーマル型は何か？

主な発見

• 曲率 ≤ a < 0 であるハダマード表面 𝕄 に対して、𝕄×ℝ 内の理想測地多角形領域上での最小グラフに関するジェンキンス＝セリン型定理が確立された。
• 𝕄×ℝ 内に、コンフォーマル構造が複素平面 ℂ と等価な全最小グラフが存在する。
• この全最小グラフの垂直射影は、ℂ から 𝕄 への調和微分同相写像を定める。
• 最小グラフの漸近境界は、𝕄(∞)×ℝ 内の連続な垂直グラフとして指定可能であり、そのようなグラフは存在しかつ一意に定まる。
• グローツシュの補題をアニュラリ領域に適用することで、最小グラフのコンフォーマル型が ℂ であることが示された。各アニュラリ領域のコンフォーマルモジュラスは 1 以上であり、一様に保たれる。
• 全最小グラフ上の高さ関数は調和的かつ有界であり、これはグラフが単位円板から見た写像としてコンフォーマル構造を単位円板と同一視できることを示唆する。