[論文レビュー] Minimal surfaces in contact Sub-Riemannian manifolds

Nataliya Shcherbakova|ArXiv.org|Apr 23, 2006

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、水平面積形式を表面に制限した外微分の消滅として、余階数1の接触サブリーマン多様体における最小曲面の座標に依存しない、内在的な定義を提示する。このように定義された曲面は、拡張空間 $M \times S^1$ 内の常微分方程式系の積分多様体であることが示され、$(2,3)$-接触の場合、ヘイゼンベルク群に限らず、すべての一般接触構造へと特徴的点の分類および特徴的曲線が測地線である条件が一般化されることを証明する。

ABSTRACT

In the present paper we consider generic Sub-Riemannian structures on the co-rank 1 non-holonomic vector distributions and introduce the associated canonical volume and ''horizontal'' area forms. As in the classical case, the Sub-Riemannian minimal surfaces can be defined as the critical points of the '`horizontal'' area functional. We derive an intrinsic equation for minimal surfaces associated to a generic Sub-Riemannian structure of co-rank 1 in terms of the canonical volume form and the ``horizontal'' normal. The presented construction permits to describe the Sub-Riemannian minimal surfaces in a generic Sub-Riemannian manifold and can be easily generalized to the case of non-holonomic vector distributions of greater co-rank. The case of contact vector distributions, in particular the $(2,3)$-case, is studied more in detail. In the latter case the geometry of the Sub-Riemannian minimal surfaces is determined by the structure of their characteristic points (i.e., the points where the hyper-surface touches the horizontal distribution) and characteristic curves. It turns out that the known classification of the characteristic points of the Sub-Riemannian minimal surfaces in the Heisenberg group $H^1$ holds true for the minimal surfaces associated to a generic contact $(2,3)$ distribution. Moreover, we show that in the $(2,3)$ case the Sub-Riemannian minimal surfaces are the integral surfaces of a certain system of ODE in the extended state space. In some particular cases the Cauchy problem for this system can be solved explicitly. We illustrate our results considering Sub-Riemannian minimal surfaces in the Heisenberg group and the group of roto-translations.

研究の動機と目的

• 余階数1のサブリーマン多様体における最小曲面の座標に依存しない、内在的な定義を、標準的体積形式と水平面積形式を用いて提示すること。
• 一般のサブリーマン構造に対して有効な、標準的体積形式と水平法線を用いた最小曲面の内在的方程式を導出すること。
• ヘイゼンベルク群における特徴的点の分類を、すべての一般$(2,3)$-接触サブリーマン構造へ一般化すること。
• サブリーマン最小曲面が拡張空間 $M \times S^1$ 内のODE系の積分曲面であることを示すこと。
• 特徴的曲線がサブリーマン測地線と一致する条件を同定し、構造定数に関する必要十分条件を特定すること。

提案手法

• 水平分布 $\Delta$ における正規直交フレームを用いて、余階数1のサブリーマン多様体上に標準的体積形式 $\mu$ と水平面積形式 $i_\nu \mu$ を定義する。
• 単位水平ベクトル場 $X$ に対する $i_X \mu$ の積分を最大化する単位ベクトル場としてサブリーマン法線 $\nu$ を定義する。
• 最小曲面条件を、表面 $W$ 上での $(d \circ i_\nu \mu)|_W = 0$ として定式化し、これは表面における内在的偏微分方程式である。
• 最小曲面方程式に特性曲線法を適用し、$S^1$-値パラメータ $\psi$ を持つ拡張空間 $M \times S^1$ 内のODE系が得られる。
• ポントレヤーギン最大原理を用いて、$T^*M$ 内の極値曲線とサブリーマン測地線を関連付け、特徴的曲線が測地線である条件を特定する。
• 特徴的曲線が測地線であるための構造定数 $c_{ij}^k$ に対する明示的条件を導出し、$c_{12}^1$、$c_{12}^2$、$c_{32}^1 + c_{31}^2$ の値が0かどうかに応じた場合分けを行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の余階数1サブリーマン多様体における最小曲面は、CR幾何学のようなグローバル構造に依存せずに、内在的に定義可能か？
• RQ2 標準的体積形式と水平法線を用いた最小曲面を記述する内在的偏微分方程式は何か？
• RQ3 ヘイゼンベルク群における特徴的点の分類は、すべての$(2,3)$-接触サブリーマン構造へ一般化可能か？
• RQ4 最小曲面の特徴的曲線がサブリーマン測地線と一致するのはどのような条件下か？
• RQ5 最小曲面の幾何は、拡張状態空間内のODE系によって完全に記述可能か？

主な発見

• 内在的最小曲面方程式 $(d \circ i_\nu \mu)|_W = 0$ は、すべての余階数1サブリーマン構造に対して座標に依存しない特徴付けを提供する。
• $(2,3)$-接触の場合、サブリーマン最小曲面は、$S^1$-座標が水平方向に対応する $M \times S^1$ 内のODE系の積分曲面である。
• 特徴的点の分類（楕円型、放物型、双曲型）は、ヘイゼンベルク群に限らず、すべての一般$(2,3)$-接触構造に成立する。
• 特徴的曲線がサブリーマン測地線であるのは、構造定数が $c_{31}^1 \cos 2\phi + \frac{c_{32}^1 + c_{31}^2}{2} \sin 2\phi = 0$ を満たす場合に限る。$\phi^*$ に対する明示的解は、定数に応じて異なる。
• ヘイゼンベルク群では、すべての特徴的曲線が測地線であり、1つの特徴的点を持つ完全測地的平面を形成する。
• 回転移動群では、特徴的曲線が測地線であるのは2つの族に限る：$xy$-平面内の直線と鉛直線で、それぞれ $\phi^* = \pi/2, 3\pi/2$ に対応する。