[論文レビュー] Minimal surfaces in pseudohermitian geometry and the Bernstein problem in the Heisenberg group

Jih-Hsin Cheng, Jenn-Fang Hwang+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2004

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、擬ヘルミート幾何学におけるp-最小曲面の理論を展開し、p平均曲率を導入し、その退化した非線形双曲型・放物型方程式を分析する。ヘイゼンベルク群H¹における全解を分類し、それらがリーマン的包あらわしを持つルールド曲面であることを証明する。特異集合の制約下でのディリクレ問題の一意性結果を確立し、この設定におけるバーナンスタイン問題の類似を解く。

ABSTRACT

We develop a surface theory in pseudohermitian geometry. We define a notion of (p-)mean curvature and the associated (p-)minimal surfaces. As a differential equation, the p-minimal surface equation is degenerate (hyperbolic and elliptic). To analyze the singular set, we formulate the go through theorems, which describe how the characteristic curves meet the singular set. This allows us to classify the entire solutions to this equation and hence solves the analogue of the Bernstein problem in the Heisenberg group H1. In H1, identified with the Euclidean space R3, the p-minimal surfaces are classical ruled surfaces with the rulings generated by Legendrian lines. We also prove a uniqueness theorem for the Dirichlet problem under a condition on the size of the singular set. We interpret the p-mean curvature: as the curvature of a characteristic curve, as the tangential sublaplacian of a defining function, and as a quantity in terms of calibration geometry. We also show that there are no closed, connected, C2 smoothly embedded constant p-mean curvature or p-minimal surfaces of genus greater than one in the standard S3. This fact

研究の動機と目的

• 擬ヘルミート幾何学における包括的な曲面論を構築し、p平均曲率の定義を含む。
• 両方の性質（双曲型および放物型）を示す退化したp-最小曲面方程式を分析する。
• ヘイゼンベルク群H¹におけるp-最小曲面方程式の全解をすべて分類する。
• 特異集合のサイズに制限を設けた場合のディリクレ問題に対する一意性定理を確立する。
• 特徴的曲線、部分ラプラシアン、およびキャリブレーション幾何学を通じて、p平均曲率を幾何学的に解釈する。

提案手法

• 擬ヘルミート多様体における幾何的不変量としてのp平均曲率の概念を導入する。
• 特徴的集合で特異となる退化した完全非線形楕円型偏微分方程式としてp-最小曲面方程式を定式化する。
• 特異集合における特徴的曲線の正則性および交差挙動を記述する「通る定理」を確立する。
• 「通る定理」を用いて、H¹におけるすべてのC²全解を、リーマン的包あらわしを持つルールド曲面として分類する。
• キャリブレーション幾何学を応用し、p平均曲率をキャリブレーションされた曲率形式として解釈する。
• 定義関数の部分ラプラシアンを用いて、p平均曲率を接ベクトル微分の形で表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 擬ヘルミート幾何学における正しい平均曲率の概念は何か？ そして、古典的平均曲率をどのように一般化するか？
• RQ2 特徴的曲線はp-最小曲面の特異集合とどのように相互作用するか？ どのような正則性条件が生じるか？
• RQ3 ヘイゼンベルク群H¹におけるp-最小曲面方程式の全解はすべて何か？
• RQ4 p-最小曲面のディリクレ問題はどのような条件下で一意に解かれるか？
• RQ5 標準的S³において、p平均曲率が一定で、閉じていて、連結で、C²で滑らかに埋め込まれた、 genus 1より大きい曲面は存在できるか？

主な発見

• H¹におけるp-最小曲面方程式の全解は、すべてリーマン的包あらわしを持つルールド曲面である。
• p-最小曲面方程式は退化しており、点に応じて双曲型および放物型の両方の性質を示す。
• 「通る定理」により、特徴的曲線が特異集合をどのように横切るかの完全な記述が得られ、分類が可能になる。
• 特異集合の測度が十分に小さい場合、ディリクレ問題に対する一意性結果が成り立つ。
• 標準的S³には、p平均曲率が一定またはp-最小で、閉じていて、連結で、C²で滑らかに埋め込まれた、genus 1より大きい曲面は存在しない。
• p平均曲率は、特徴的曲線の曲率、定義関数の接ベクトル部分ラプラシアン、およびキャリブレーションされた曲率形式として、幾何学的に解釈される。