[論文レビュー] Minimal surfaces in the 3-sphere by desingularizing intersecting Clifford tori

Nikolaos Kapouleas, David Wiygul|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、滑らかな接続技術を用いて、交差するクライフォードトーラスの配置をdesingularizationすることで、3次元球面における新しい埋め込み最小曲面の族を構成する。交差曲線を位数$k$のKarcher-Scherkタワーに置き換えることで、対称的な$k$個のトーラスの集合に収束する系列が得られ、特異点付近のスケーリング極限はScherk型曲面に類似する。この手法により、対称的および非対称的な genus 例が得られ、異なる円周上での周期を独立に調整可能な新しい族も得られる。

ABSTRACT

For each integer $k \geq 2$, we apply gluing methods to construct sequences of minimal surfaces embedded in the round $3$-sphere. We produce two types of sequences, all desingularizing collections of intersecting Clifford tori. Sequences of the first type converge to a collection of $k$ Clifford tori intersecting with maximal symmetry along these two circles. Near each of the circles, after rescaling, the sequences converge smoothly on compact subsets to a Karcher-Scherk tower of order $k$. Sequences of the second type desingularize a collection of the same $k$ Clifford tori supplemented by an additional Clifford torus equidistant from the original two circles of intersection, so that the latter torus orthogonally intersects each of the former $k$ tori along a pair of disjoint orthogonal circles, near which the corresponding rescaled sequences converge to a singly periodic Scherk surface. The simpler examples of the first type resemble surfaces constructed by Choe and Soret \cite{CS} by different methods where the number of handles desingularizing each circle is the same. There is a plethora of new examples which are more complicated and on which the number of handles for the two circles differs. Examples of the second type are new as well.

研究の動機と目的

• 交差するクライフォードトーラスの対称的配置をdesingularizationすることで、3次元球面における新しい埋め込み最小曲面を構成すること。
• 標準的なScherk曲面を超えて、高次のKarcher-Scherkタワーを用いることで、複数の交差する成分を扱う接続手法を拡張すること。
• 異なる交差円周上で独立に周期数を指定した最小曲面を生成し、従来の対称性制約を打ち破ること。
• desingularizationプロセスが埋め込み性を保ち、制御された対称性仮定の下で滑らかに特異極限に収束することを示すこと。

提案手法

• $k$個のクライフォードトーラスが2つの大円に沿って交差する、最大の回転対称性を持つ特異初期曲面を用いる。
• 交差曲線のチューブ型近傍を、$k$個の平面が直線に沿って交差するのをdesingularizeするKarcher-Scherkタワー位数$k$のモデル曲面に置き換える。
• 線形化問題における核の障害を排除するために、有限対称性群$\mathscr{G}_{\text{min}}$を用いて接続を行う。これにより摂動方程式の可解性が保証される。
• 一般desingularization定理 [KapClay, 定理F] および [KapSchoen, 定理3.1] を、核の問題を避けるために対称性制約の下で適用する。
• 2番目のタイプの曲面では、追加の等距離トーラスを導入し、元の$k$個のトーラスと直交する別個の円周上に交差させ、スケーリング極限が単一周期Scherk曲面に収束する。
• 対称性低減を用いてトーラスを平坦な長方形またはアニュラスに分割し、線形化作用素の固有値解析を明示的に行い、核の不在を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位数$k \geq 2$のKarcher-Scherkタワーを用いて、$\mathbb{S}^3$内での2つの円周に沿って交差する$k$個のクライフォードトーラスをdesingularizeできるか？
• RQ2 desingularizingタワーにおける周期数を、各交差円周上で独立に指定可能かであり、かつ埋め込み性と対称性を保ったままか？
• RQ3 元の交差円周から等距離にある追加のトーラスを導入した場合、その効果は何か？また、スケーリング曲面の漸近的挙動にどのように影響するか？
• RQ4 接続プロセスにおける線形化問題の核障害を、どのように対称性制約を用いて排除できるか？
• RQ5 2つ以上の交差するトーラスを含む配置や、非自明な位相的複雑性を持つ構成に対しても、desingularization手法を拡張可能か？

主な発見

• 収束先が2つの大円に沿って最大対称性で交差する$k$個のクライフォードトーラスとなる最小曲面の系列が構成され、各円周付近のスケーリング極限は位数$k$のKarcher-Scherkタワーに収束する。
• 1番目のタイプでは、$n_1$および$n_2$をそれぞれ2つの円周をdesingularizeするタワーの周期数として、得られる曲面のgenusは$n_1 + n_2 + 1$である。
• 2番目のタイプでは、$n_1, n_2$を元の円周上の周期数、$n'_1, n'_2$を新規トーラスの直交交差円周上の周期数として、genusは$n_1 + n_2 + 2n'_1 + 2n'_2 + 1$である。
• 追加トーラスの交差円周付近のスケーリング極限は単一周期Scherk曲面に収束し、desingularizationモデルの妥当性が確認される。
• 対称性群$\mathscr{G}_{\text{min}}$により、標準的および拡張された構成の両方で線形化作用素に核が存在しないことが保証され、desingularization定理の適用が可能になる。
• 本手法では、従来の方法が周期数に共通の因子$m$を要するのとは異なり、異なる円周上で周期数を独立に制御可能である。