[論文レビュー] Minimal value set polynomials and a generalization of the Hermitian curve

Herivelto Borges, Ricardo Conceição|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、定義式に最小値集合多項式（MVSP）を用いることで、ヘルミート曲線とノルム・トレース曲線を一般化する有限体上の代数的曲線の新族を導入する。この構成により、有理点の数が多く、無限遠点におけるワイエルシュトラス半群が明示的に計算可能となる曲線が得られ、新たなキャッスル曲線が得られ、$ N/g $ の比が向上する。主な貢献は、特異な部分クラスに対してテレスコピック半群理論を用いてワイエルシュトラス半群を同定したことにある。

ABSTRACT

We use a recent characterization of minimal value set polynomials and $q$- Frobenius nonclassical curves to construct curves that generalize the Hermitian curve. The genus $g$ and the number $N$ of $\mathbb{F}_q$-rational points of the curves are computed and, for a special family of these curves, we determine the Weierstrass semigroup at the unique point at infinity. These special curves yield new examples of Castle curves and improve on a previous example of Garcia-Stichtenoth of curves with large ratio $N/g$.

研究の動機と目的

• 有限体上のヘルミート曲線を、最小値集合多項式（MVSP）を用いた定義式の拡張により一般化すること。
• 既知の例（ノルム・トレース曲線や一般化されたヘルミート曲線など）を上回る、有理点数 $ N $ と種数 $ g $ の比 $ N/g $ が大きな曲線の構成。
• これらの曲線の特殊な部分クラスについて、無限遠点におけるワイエルシュトラス半群を計算し、より良い代数的幾何コードの構築を可能にすること。
• MVSPと $ q $-フロベニウス非古典的曲線との関係を確立し、MVSP の最近の特徴づけを活用すること。
• 構成された曲線がキャッスル曲線であることを示し、優れた代数的幾何コードを支持することが知られていること。

提案手法

• 定義式を $ y^{q^{n-1}} + \rho y^{q^{n-2}} + \rho^q y^{q^{n-3}} + \rho^{q^2} y^{q^{n-4}} + \rho^{q^3} y^{q^{n-5}} + \rho^{q^4} y^{q^{n-6}} + \rho^{q^5} y^{q^{n-7}} + \rho^{q^6} y^{q^{n-8}} + \rho^{q^7} y^{q^{n-9}} = f(x) $ とする $ \tilde{\text{H}} $ という新しい曲線の族を $ \bar{\bbF}_{q^n} $ 上に定義し、$ f(x) $ は値集合が $ \bbF_q $ である最小値集合多項式とする。
• 先行研究による MVSP の特徴づけを用い、右辺の多項式 $ f(x) $ が $ \text{card}(V_f) = \floor{(q^n - 1)/\text{deg}(f)} + 1 $ を満たすことを保証することで、曲線が $ q $-フロベニウス非古典的であることを保証する。
• $ q $-フロベニウス非古典的曲線の理論を適用し、曲線 $ \tilde{\text{H}} $ が $ q $-フロベニウス非古典的であることを示し、望ましい算術的・幾何的性質を有することを示す。
• $ Q $-adic の付値が既知の有理関数 $ w_1 $ と $ w_2 $ を構成し、$ v_Q(w_1) = -(q^{n-r} + q^n) $ および $ v_Q(w_2) = -(q^{2r} - q^n + q^r + 1) $ を用いて、無限遠点 $ Q $ におけるワイエルシュトラス半群を決定する。
• ワイエルシュトラス半群 $ H(Q) $ が $ q^{n-1}, q^{n-1}+q^{r-1}, q^n + q^{n-r}, q^{2r-1} + q^{n-r-1}, q^{2r} - q^n + q^r + 1 $ で生成されることを証明し、それがテレスコピックかつ対称的であることを示す。
• テレスコピック半群の種数公式：$ g(S) = \frac{1}{2} \big( \frac{d_0}{d_1} - 1 \big)a_1 + \frac{1}{2} \big( \frac{d_1}{d_2} - 1 \big)a_2 + \frac{1}{2} \big( \frac{d_2}{d_3} - 1 \big)a_3 + \frac{1}{2} \big( \frac{d_3}{d_4} - 1 \big)a_4 + \frac{1}{2} \big( \frac{d_4}{d_5} - 1 \big)a_5 + 1 $ を用い、曲線の種数が半群の公式と一致することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小値集合多項式（MVSP）を用いて、ヘルミート曲線を高次元有限体へ一般化することは可能か？ また、その際、望ましい幾何的・算術的性質を保ち続けることができるか？
• RQ2 これらの一般化された曲線の特殊な部分クラスについて、無限遠点におけるワイエルシュトラス半群は何か？ また、代数的幾何コードの構築とどのように関係するか？
• RQ3 有理点数 $ N $ と種数 $ g $ の比 $ N/g $ は、ノルム・トレース曲線や一般化されたヘルミート曲線といった既知の曲線と比較してどうか？
• RQ4 構成された曲線は $ q $-フロベニウス非古典的であるか？ そのことは、有理点の分布や符号理論への応用にどのような意味を持つのか？
• RQ5 曲線のワイエルシュトラス半群を明示的に計算でき、それがテレスコピックかつ対称的であることを示せるか？ これにより、最適な符号パラメータが保証されるか？

主な発見

• 構成された曲線 $ \tilde{\text{H}} $ の種数 $ g $ は $ q^r(q^{n-1} + 1)/2 $ であり、ワイエルシュトラス半群の公式による計算と一致する。
• 無限遠点におけるワイエルシュトラス半群 $ H(Q) $ は明示的に $ \big\bracevert q^{n-1}, q^{n-1}+q^{r-1}, q^n + q^{n-r}, q^{2r-1} + q^{n-r-1}, q^{2r} - q^n + q^r + 1 \big\bracevert $ として同定され、テレスコピックかつ対称的であることが示された。
• MVSP の特徴づけにより、曲線が $ q $-フロベニウス非古典的であることが確認され、$ f(x) $ の構造と曲線の非古典的性質の間の関係が明確になった。
• $ \bbF_{q^n} $-有理点の数 $ N $ は $ q^{2n-1} + 1 $ であり、一般化されたヘルミート曲線と一致し、$ N/g $ の比においてノルム・トレース曲線を上回る。
• 曲線 $ \tilde{\text{H}} $ は、キャッスル曲線の必要条件を満たしており、優れたパラメータを持つ代数的幾何コードを支持することが知られている。
• この構成により、$ N/g > 2\frac{q^{n-1}}{2} $ を満たす新しい曲線の例が得られ、ガルシアとシュティーレンドルトの以前の例を点の効率性において上回った。