[論文レビュー] Minimalisation of uncertainty relations in noncommutative quantum mechanics

Piotr Kosiński, Katarzyna Bolonek-Lasoń|ArXiv.org|Aug 29, 2002

Quantum Mechanics and Applications参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、非可換量子力学（NCQM）における不確定性関係を満たす明示的な量子状態を構築する。NCQMでは位置-位置の非可換性がパラメータ $ heta$ で制御される。フォック空間表現とボゴリューボフ変換を用いて、3つの基本的不確定性関係—$ \Delta x_1\Delta x_2 \geq \theta/2$、$ \Delta x_1\Delta p_1 \geq \hbar/2$、$ \Delta x_2\Delta p_2 \geq \hbar/2$—を同時に満たす状態を導出し、それらのうち1つより多くを同時に満たす状態は存在しないことを証明する。

ABSTRACT

The explicit constrtuction of states saturating uncertainty relations following from basic commutation rules of NCQM is given both in Fock space and coordinate representation

研究の動機と目的

• 非可換代数 $[\hat{x}_i, \hat{x}_j] = i\theta\epsilon_{ij}I$ に由来する不確定性関係を満たす量子状態を明示的に構築すること。
• 従来の研究における曖昧さを解消し、NCQMにおける最小不確定性状態の完全かつ明示的な特徴付けを提供すること。
• 標準量子力学とは異なり、NCQMでは1つの状態が3つの不確定性関係のうち複数を同時に満たせないことを示すこと。
• フォック空間とコherent状態形式を統合的に用いて、最小不確定性状態を導出し、分類する統一的枠組みを提供すること。

提案手法

• ユニタリ変換を介して $\hat{x}_i, \hat{p}_i$ と関連する修正された生成消滅演算子 $a_i, a_i^\dagger$ を用いて、NCQM代数のフォック空間表現を構築する。
• $\hat{x}_1, \hat{x}_2$ 間の不確定性関係を標準的ヘイゼンベルク型の形に写像するため、新たな演算子 $b, b^\dagger$ および $c, c^\dagger$ を導入する。
• $b$-演算子に標準的コherent状態形式を適用し、$\Delta x_1 \Delta x_2 \geq \theta/2$ を満たす状態を構成する。パrameterは複素数 $z$ と実数 $\gamma$ である。
• ユニタリ演算子 $V(\gamma) = e^{-\frac{1}{4}\ln\gamma(a^2 - (a^\dagger)^2)}$ を用いたボゴリューボフ変換により、$\Delta x_1\Delta p_1$ および $\Delta x_2\Delta p_2$ 関係の最小不確定性状態を生成する。
• 最小不確定性状態の座標表示波動関数を導出し、解析的に、1つの波動関数が複数の不確定性関係を同時に満たせないことを確認する。
• 一般化ヘイゼンベルク不等式 $(\Delta A)_\psi (\Delta B)_\psi \geq \frac{1}{2}|\langle C \rangle_\psi|$ を用いて飽和条件を導出し、最小状態の構造を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換量子力学における不確定性関係 $\Delta x_1 \Delta x_2 \geq \theta/2$ を満たす量子状態の明示的形は何か？
• RQ2 1つの量子状態がNCQMの3つの基本的不確定性関係のうち複数を同時に満たすことは可能か？
• RQ3 個々の不確定性関係を満たす状態において、$\Delta x_1$, $\Delta x_2$, $\Delta p_1$, $\Delta p_2$ の分散はどのように振る舞うか？
• RQ4 ボゴリューボフ変換とコherent状態は、NCQMにおけるフォック空間での最小不確定性状態の構築にどのように寄与するか？
• RQ5 最小不確定性状態の座標表示波動関数は、元となる代数の非可換構造をどのように反映しているか？

主な発見

• この論文は、NCQMにおける3つの不確定性関係—$\Delta x_1\Delta x_2 \geq \theta/2$、$\Delta x_1\Delta p_1 \geq \hbar/2$、$\Delta x_2\Delta p_2 \geq \hbar/2$—それぞれについて、明示的な最小不確定性状態を構築している。
• 不確定性関係 $\Delta x_1\Delta x_2 \geq \theta/2$ を満たす最小不確定性状態は、$|z,\gamma\rangle_\phi = e^{-\frac{1}{2}|z|^2} e^{\frac{1}{4}\ln\gamma((b^\dagger)^2 - b^2)} e^{zb^\dagger}|\phi\rangle$ で与えられる。ここで $b$ は $a_+$ と $a_-$ の組み合わせである。
• $\Delta x_1\Delta p_1$ および $\Delta x_2\Delta p_2$ 関係の最小状態は、標準的コherent状態にユニタリ変換 $V(\gamma)$ を適用することで生成され、$\gamma$ が $x$ と $p$ の相対的広がりを制御する。
• 最小状態における分散は $\gamma$ と定量的に関係しており、$(\Delta x)^2 = \frac{\gamma\hbar}{2}$ および $(\Delta p)^2 = \frac{\hbar}{2\gamma}$ が成り立ち、ヘイゼンベルク型不等式の飽和が確認される。
• 非可換構造 $\hat{x}_i$ の性質により、波動関数が3つの不確定性関係のうち1つより多くを同時に満たすことは厳密に示されている。
• 最小状態の座標表示波動関数が明示的に導出され、直接計算により不確定性の飽和条件を満たしていることが示されている。