[論文レビュー] Minimax Estimation of the Volume of a Set with Smooth Boundary

Ery Arias-Castro, Beatriz Pateiro‐López+1 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2016

Statistical Methods and Inference参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^d$ 内の滑らかな境界を持つコンpakト集合の体積に対するミニマックス最適推定量を、バイアスを補正するデータ分割アプローチを用いて提案する。$r$-ローリング条件（正の到達可能距離に同等）を活用することで、ミニマックスレート $n^{-(d+3)/(2d+2)}$ を達成し、導出された下界と一致する。

ABSTRACT

We consider the problem of estimating the volume of a compact domain in a Euclidean space based on a uniform sample from the domain. We assume the domain has a boundary with positive reach. We propose a data splitting approach to correct the bias of the plug-in estimator based on the sample alpha-convex hull. We show that this simple estimator achieves a minimax lower bound that we derive. Some numerical experiments corroborate our theoretical findings.

研究の動機と目的

• コンパクト集合が $\mathbb{R}^d$ 内で滑らかな境界を持つ場合の体積推定に対するミニマックス下界を導出すること。
• このミニマックスレートを達成するバイアス補正済み体積推定量を開発すること。
• $r$-ローリング条件（境界の正の到達可能距離に同等）の下で理論的保証を確立すること。
• 信頼区間の拡張と数値的妥当性を備えた実用的推定量を提供すること。

提案手法

• 推定量は標本を二つの部分に分割する：一方は $\alpha$-凸包 $\hat{S}$ の構築に、他方は $S \setminus \hat{S}$ の体積推定に使用される。
• 体積推定量は $\hat{V} = \mu(\hat{S}) / \max(1/2, 1 - \hat{p})$ で定義され、$\hat{p}$ は第二標本で $\hat{S}$ の外にある点の割合である。
• この手法は $r$-ローリング条件に依存しており、$S$ 及びその補集合が境界に接する半径 $r$ の球を含むことを保証する。
• 理論的解析では、避けられない球の族を用いて、標本内での空の球の確率を抑え、濃度不等式を導出する。
• 仮定 $\alpha \in (0,r]$ 及び $\beta \leq m/n \leq 1 - \beta$ の下で、推定量がミニマックスレート $n^{-(d+3)/(2d+2)}$ を達成することが示された。
• このアプローチにより信頼区間の構築が可能であり、数値実験により妥当性が検証された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト集合が $\mathbb{R}^d$ 内で滑らかな境界を持つ場合の体積推定におけるミニマックスレートは何か？
• RQ2 ${\alpha}$-凸包に基づくバイアス補正推定量は、このミニマックスレートに達することができるか？
• RQ3 $r$-ローリング条件（正の到達可能距離）は、体積推定量の収束速度にどのように影響するか？
• RQ4 データ分割は、一様標本からの体積推定におけるバイアス低減に果たす役割は何か？
• RQ5 提案された推定量は、有効な信頼区間を提供するために拡張可能か？

主な発見

• 本稿では、$r$-ローリング条件を満たす集合の体積推定に対して、$C\delta^2 n^{-(d+3)/(2d+2)}$ のオーダーのミニマックス下界を確立した。
• 提案された推定量 $\hat{V}$ は、ミニマックスレート $n^{-(d+3)/(2d+2)}$ を達成し、下界と一致する。
• 仮定 $\alpha \in (0,r]$ の下で、推定量は安定であり、$\alpha$-凸包が真の集合構造を適切に捉えることを保証する。
• 理論的解析により、$\alpha$-凸包推定量の誤差は $O(\textnormal{e}^{-L_1 n \alpha_n^d} + \alpha_n^{-(d-1)/(d+1)} n^{-2/(d+1)})$ として減少し、後者の項が支配的であることが示された。
• データ分割戦略により、プラグイン推定量のバイアスが効果的に低減され、それ自体は $O(n^{-2/(d+1)})$ のレートしか達成できない。
• 数値実験により理論的結果が裏付けられ、標準的なプラグイン推定量よりも優れた収束性が示された。