[論文レビュー] Minimax principle for right eigenvalues of dual quaternion matrices and their generalized inverses

Ling Chen, Liqun Qi+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2022

Optical measurement and interference techniques被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、双対クォータニオンヒルバート行列の右固有値に対するミニマックス原理を確立し、特異値分解と新たに導出されたコーシー＝シュワルツ不等式を用いて双対クォータニオン行列の一般化逆行列を構築する。主な貢献は、{1}、{3}、{4}-型一般化逆行列を構造的行列条件によって完全に特徴づけることであり、3次元運動モデリングおよびマルチエージェント制御システムにおけるスペクトル解析と逆行列解析を可能にする。

ABSTRACT

Dual quaternions can represent rigid body motion in 3D spaces, and have found wide applications in robotics, 3D motion modelling and control, and computer graphics. In this paper, we introduce three different right linear independency for a set of dual quaternion vectors, and study some related basic properties for the set of dual quaternion vectors and dual quaternion matrices. We present a minimax principle for right eigenvalues of dual quaternion Hermitian matrices. Based upon a newly established Cauchy-Schwarz inequality for dual quaternion vectors and singular value decomposition of dual quaternion matrices, we propose an important inequality for singular values of dual quaternion matrices. We finally introduce the concept of generalized inverse of dual quaternion matrices, and present the necessary and sufficient conditions for a dual quaternion matrix to be one of four types of generalized inverses of another dual quaternion matrix.

研究の動機と目的

• 双対クォータニオンベクトルのための3つの異なる右線形独立性の概念を形式化し、双対クォータニオン行列系の構造的解析を可能にする。
• 双対クォータニオンヒルバート行列の固有値に対するミニマックス原理を確立し、古典的スペクトル理論を非可換代数へと拡張する。
• 特異値分解と新しいコーシー＝シュワルツ不等式を用いて、ファン＝ホフマン不等式の双対クォータニオン行列版を導出する。
• 特に{1}、{3}、{4}-逆行列に関して、ムーア・ペンローズ型一般化逆行列を定義し、特徴づける。
• ある行列が別の双対クォータニオン行列の一般化逆行列であるための必要十分条件を、構造的行列分解に基づいて提示する。

提案手法

• 双対クォータニオンベクトルのための3つの右線形独立性の定義を導入し、行列のランクおよびベクトル空間構造への影響を分析する。
• 双対クォータニオンベクトルにおける新しいコーシー＝シュワルツ不等式を導出する。これは内積と特異値の境界を定める上で不可欠である。
• 双対クォータニオン行列の特異値分解（SVD）を適用し、特異値に関してファン＝ホフマン型不等式を確立する。
• 分裂行列分解 $ A = A_{\rm st} + A_{\rm I}\epsilon $ を用いて、一般化逆行列のパラメトリック表現を提案する。ここで $ A_{\rm st} $ および $ A_{\rm I} $ は実行列である。
• 行列 $ A_{\rm st}^\dagger $ およびヒルバート条件を含む行列方程式を用いて、$ X = A_{\rm st}^\dagger - A_{\rm st}^\dagger A_{\rm I} A_{\rm st}^\dagger \epsilon $ が{1}、{3}、{4}-逆行列であるための必要十分条件を導出する。
• すべての非ゼロ特異値が顕著である場合に、明示的なSVDに基づく逆行列式を用いてムーア・ペンローズ一般化逆行列の存在および構造を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双対クォータニオンベクトルの集合に対して、右線形独立性を一貫して定義する方法は何か？ また、行列のランクおよびベクトル空間構造に与える影響は何か？
• RQ2 双対クォータニオンヒルバート行列の固有値に対するミニマックス特徴づけは何か？ そして、これは古典的変分原理をどのように拡張するか？
• RQ3 双対クォータニオン行列の特異値に関してファン＝ホフマン型不等式を確立できるか？ その形は何か？
• RQ4 ある双対クォータニオン行列が別の行列の{1}、{3}、{4}-一般化逆行列であるための必要十分条件は何か？
• RQ5 双対クォータニオン行列に対してムーア・ペンローズ一般化逆行列が存在する条件は何か？ また、その明示的形は何か？

主な発見

• 双対クォータニオンヒルバート行列の固有値に対するミニマックス原理が確立され、古典的レイリー＝リッツ変分原理が双対クォータニオン設定へと一般化された。
• 双対クォータニオンベクトルに対する新しいコーシー＝シュワルツ不等式が導出され、非可換設定における内積および特異値の解析が可能になった。
• SVDと新しいコーシー＝シュワルツ不等式を用いて、双対クォータニオン行列の特異値に関する不等式が証明され、複素行列に対するファン＝ホフマン不等式に類似した形となった。
• 行列 $ X $ が $ A $ の{1}-一般化逆行列であるための必要十分条件は、$ (I_m - A_{\rm st}A_{\rm st}^\dagger)A_{\rm I}(I_n - A_{\rm st}^\dagger A_{\rm st}) = O $ である。これは標準的逆行列条件を保証する。
• 行列 $ X $ が{3}-一般化逆行列であるためには、$ (I_m - A_{\rm st}A_{\rm st}^\dagger)A_{\rm I}A_{\rm st}^\dagger = (A_{\rm st}^*)^\dagger A_{\rm I}^*(I_m - A_{\rm st}A_{\rm st}^\dagger) $ が成り立つ必要がある。これにより $ AX $ がヒルバート行列であることが保証される。
• 行列 $ X $ が{4}-一般化逆行列であるためには、$ A_{\rm st}^\dagger A_{\rm I}(I_n - A_{\rm st}^\dagger A_{\rm st}) = (I_n - A_{\rm st}^\dagger A_{\rm st}) A_{\rm I}^* (A_{\rm st}^*)^\dagger $ が満たされる必要がある。これにより $ XA $ がヒルバート行列であることが保証される。