[論文レビュー] Minimax representation of nonexpansive functions and application to zero-sum recursive games

Marianne Akian, Stéphane Gaubert+1 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2016

Risk and Portfolio Optimization参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、弱ミンコフスキーノルムを用いて、位相線形空間上の非拡大かつ正同次関数に対して最小最大表現を確立し、このような関数が線形形式の点ごとの上界として表せることを証明する。主な貢献は、ゼロサム再帰的ゲーム（エヴァリットのゲーム）におけるシャープリー作用素を、有限の行動集合と決定的遷移を持つ最小最大写像として特徴付けることである。これにより、多面体近似と非凸リスク測度への応用が可能になる。

ABSTRACT

We show that a real-valued function on a topological vector space is positively homogeneous of degree one and nonexpansive with respect to a weak Minkowski norm if and only if it can be written as a minimax of linear forms that are nonexpansive with respect to the same norm. We derive a representation of monotone, additively and positively homogeneous functions on $L^\infty$ spaces and on $\mathbb{R}^n$, which extend results of Kolokoltsov, Rubinov, Singer, and others. We apply this representation to nonconvex risk measures and to zero-sum games. We derive in particular results of representation and polyhedral approximation for the class of Shapley operators arising from games without instantaneous payments (Everett's recursive games).

研究の動機と目的

• 位相線形空間上での1次正同次かつ弱ミンコフスキーノルムに関して非拡大な実数値関数に対する一般化された最小最大表現を確立すること。
• \mathbb{R}^n$ および $L^\infty$ 空間における単調的で加法的かつ正同次な作用素に関する既存の結果を拡張すること。
• この表現をゼロサム再帰的ゲーム、特に即時支払いのないエヴァリットの再帰的ゲームに応用すること。
• 有限最小最大構造を用いたシャープリー作用素の多面体近似を導出すること。
• 凸性の仮定なしに非凸リスク測度の新たな表現を最小最大形式に基づいて提供すること。

提案手法

• 非対称的または非強制的な設定における標準的ノルムの代わりに弱ミンコフスキーノルムを用いる。
• 位相線形空間上での非拡大かつ正同次関数に対する最小最大表現定理（定理3.4）の証明。
• コロナリー4.3を用いて、\mathbb{R}^n$ 上の単調的で加法的かつ正同次な作用素へのこの表現の応用。
• $\ell^\infty$-ノルムにおける有限$\varepsilon$-ネットの構成を用いて、最小最大写像によるシャープリー作用素の近似。
• 各座標写像が、高々2つの正の成分を持つ確率的ベクトルによる有限最小最大の線形形式からなる多面体近似スキームの導出。
• 作用素の非拡大性と正同次性を活用し、近似誤差を$\varepsilon$および$\ell^\infty$-ノルムの観点で制御すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の位相線形空間上の非拡大かつ正同次関数は、非拡大線形形式の最小最大として表現可能か？
• RQ2 即時支払いのないゼロサム再帰的ゲームから生じるシャープリー作用素の正確な特徴付けは何か？
• RQ3 このような作用素は、構造的遷移行列を持つ有限最小最大写像でどのように近似可能か？
• RQ4 最小最大表現は、非凸リスク測度の新たな表現を導出するために利用可能か？
• RQ5 連続なシャープリー作用素を有限最小最大写像に置き換える際の近似誤差は何か？

主な発見

• 位相線形空間上の実数値関数が1次正同次かつ弱ミンコフスキーノルムに関して非拡大であることと、非拡大線形形式の最小最大として表現可能であることとは同値である。
• $\mathbb{R}^n$ 上の単調的で加法的かつ正同次な作用素は、支払いが最終段階でのみ発生するエヴァリットの再帰的ゲームのシャープリー作用素として特徴付けられる。
• 任意のこのような作用素は、$A^*_i$ および $B_{i,a}$ が有限で、各 $P^{ab}$ が高々2つの正の成分を持つ確率的ベクトルである有限最小最大写像 $G_i(x) = \min_{a \in A^*_i} \max_{b \in B_{i,a}} \sum_{j=1}^n P_{ij}^{ab} x_j$ で近似可能である。
• 任意の $\varepsilon > 0$ に対して、$F_i(x) \leq G_i(x) \leq F_i(x) + \varepsilon \|x\|_\infty$ をすべての $x \in \mathbb{R}^n$ およびすべての $i$ に対して満たす支払いなしのシャープリー作用素 $G$ が存在する。
• 近似誤差は、$\ell^\infty$-ノルムにおける単位球の$\varepsilon$-ネットの密度に依存し、$\|G(x) - F(x)\|_\infty \leq \varepsilon \|x\|_\infty$ という評価が得られる。
• 結果は非凸リスク測度へも拡張可能であり、凸性の仮定なしに、コherentリスク測度と類似した最小最大表現フレームワークを提供する。