[論文レビュー] Minimax Solutions of Hamilton--Jacobi Equations with Fractional Coinvariant Derivatives

M. I. Gomoyunov|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2020

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 37被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Caputo型分数階微分方程式の最適制御に現れる、指数 α ∈ (0,1) の分数階共変導分を有するハミルトニアン–ヤコビ方程式に対するミニマックス解概念を導入する。この手法により、特許的ラプラシアン–クラソフスキー汎関数の新規構成を通じて、存在性、一意性、および古典的解との一貫性が確立され、非局所的で分数階の設定における一般化解のための重要な比較原理が証明される。

ABSTRACT

We consider a Cauchy problem for a Hamilton--Jacobi equation with coinvariant derivatives of an order $\alpha \in (0, 1)$. Such problems arise naturally in optimal control problems for dynamical systems which evolution is described by ordinary differential equations with the Caputo fractional derivatives of the order $\alpha$. We propose a notion of a generalized in the minimax sense solution of the considered problem. We prove that a minimax solution exists, is unique, and is consistent with a classical solution of this problem. In particular, we give a special attention to the proof of a comparison principle, which requires construction of a suitable Lyapunov--Krasovskii functional.

研究の動機と目的

• Caputo型分数階微分方程式に従う最適制御問題における価値汎関数の古典的滑らかさの欠如に対処する。
• ハミルトニアン–ヤコビ方程式に分数階共変導分を有する一般化解概念—ミニマックス解—を構築する。
• 一般化解のための比較原理を確立し、一意性および古典的解との一貫性に不可欠な役割を果たす。
• ハミルトニアンおよび境界データに関する標準的仮定の下で、ミニマックス解の存在性と一意性を証明する。
• 分数階動的系の文脈において、最適制御理論と可視化的解概念との間のギャップを埋める。

提案手法

• Caputo微分係数 α を持つ分数階特徴的微分包含を含む非局所的安定性特性を通じてミニマックス解を定義する。
• 動的計画法を用いて価値汎関数と共変導分付きハミルトニアン–ヤコビ方程式を結びつける。
• 分数積分およびCaputo微分の性質に適合した特化されたラプラシアン–クラソフスキー汎関数を構築し、比較原理の証明に用いる。これは主な技術的革新である。
• 特にCaputo型分数階包含の解集合の性質を用いた微分包含理論の技法を適用する。
• 特徴的軌道の下界および上界の畳み込みを用いて上界解および下界解を構築し、これによりミニマックス解を構成する。
• 特徴的軌道から導かれる候補汎関数に対して閉包操作（上界および下界）を適用し、最終的なミニマックス解を定義する。これにより、必要な下半連続性および比較性の性質が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的解が滑らかさの欠如により失敗する状況において、分数階共変導分を有するハミルトニアン–ヤコビ方程式に対して一般化解概念をどのように定義できるか。
• RQ2 ミニマックス的意味で、このような一般化解の存在性および一意性を保証する条件は何か。
• RQ3 分数階微分包含および非局所的ダイナミクスの文脈において、比較原理をどのように確立できるか。
• RQ4 価値汎関数が滑らかである場合、ミニマックス解と古典的解の関係は何か。
• RQ5 分数階系において、比較原理を支援する適切なラプラシアン–クラソフスキー汎関数を構築できるか。

主な発見

• 指数 α ∈ (0,1) の分数階共変導分を有するハミルトニアン–ヤコビ方程式のコーシー問題に対して、ミニマックス解が存在する。
• ハミルトニアンおよび境界データに関する仮定 (H.1)–(H.3) および (σ) の下で、ミニマックス解は一意的である。
• 価値汎関数が十分に滑らか（ci-滑らか度 α）である場合、ミニマックス解は古典的解と一貫している。
• 分数積分およびCaputo微分の性質に適合した特化されたラプラシアン–クラソフスキー汎関数の構築を通じて、比較原理が確立された。
• 比較原理の証明は、分数積分を含む新規な推定および分数階微分包含の解集合のコンパクト性に依存する。
• ミニマックス解は、特徴的軌道から導かれる候補汎関数に対する閉包操作を用いて、上界解の下界および下界解の上界として構成される。