[論文レビュー] Minimization of Automata

Jean Berstel, Luc Boasson+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2010

semigroups and automata theory被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、有限オートマトンの最小化アルゴリズムについて包括的な分析を提供し、分割精錬法（ムーアのアルゴリズムとホプロフトのアルゴリズム）と状態統合手法（レヴューズのアルゴリズムとダチウクのアルゴリズム）を比較している。ホプロフトのアルゴリズムとムーアのアルゴリズムは、挙動と計算量の点で根本的に異なることが示され、ホプロフトのアルゴリズムは最悪計算量O(n log n)を達成するが、一方で互いに模倣できないことが証明され、さらにインクリメンタルおよび非決定的オートマトンの最小化へと結果を拡張している。

ABSTRACT

This chapter is concerned with the design and analysis of algorithms for minimizing finite automata. Getting a minimal automaton is a fundamental issue in the use and implementation of finite automata tools in frameworks like text processing, image analysis, linguistic computer science, and many other applications. There are two main families of minimization algorithms. The first by a sequence of refinements of a partition of the set of states, the second by a sequence of fusions or merges of states. Hopcroft's and Moore's algorithms belong to the first family, the linear-time minimization of acyclic automata of Revuz belongs to the second family. One of our studies is upon the comparison of the nature of Moore's and Hopcroft's algorithms. This gives some new insight in both algorithms. As we shall see, these algorithms are quite different both in behavior and in complexity. In particular, we show that it is not possible to simulate the computations of one of the algorithm by the other. We describe the minimization algorithm by fusion for so-called local automata. A special case of minimization is the construction o minimal automata for finite sets. We consider briefly this case, and in particular describe incremental algorithms. Finally, we consider the case of updating a minimal automaton when a word is added or removed from the set it recognizes.

研究の動機と目的

• 主な有限オートマトン最小化アルゴリズムの設計、挙動、計算量を分析・比較すること。
• 分割精錬法と状態統合法の間の理論的・実用的差異を調査すること。
• ムーアのアルゴリズムとホプロフトのアルゴリズムの平均ケース性能を評価すること、特にホプロフトのアルゴリズムには平均ケース解析が知られていない点に注目すること。
• 有限語集合のインクリメンタル構築および動的更新に対応する最小オートマトンの最小化技術を拡張すること。
• 最小非決定的オートマトンの固有の性質と課題を検討すること、特に最小化がNP困難であること、および残余オートマトンの役割を含む。

提案手法

• 将来の挙動に基づいて状態を同値類にグループ化する分割精錬を用いたオートマトン最小化の形式化。
• 遷移の逆順走査と動的分割の精錬を用いてホプロフトのアルゴリズムを実装し、O(n log n)の時間計算量を達成。
• ムーアのアルゴリズムを、さらに精錬できないまでに反復的に状態ブロックを分割する分割精錬プロセスとして適用。
• リーブズの線形時間アルゴリズムを用いて、トップロジカルオーダーと接尾辞同値性を活用した、有向無閉路オートマトンの下流からの状態統合に基づく最小化。
• アルマイダとツァイトゥーンの一般化により、単純なサイクル成分や多項式的に有界な言語を持つ言語に対しても、統合ベースの最小化を拡張。
• ダチウクらのアルゴリズムによるインクリメンタル最小化の導入。中間のトライ木の構築を回避し、語の挿入や削除に伴う動的更新をサポート。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ムーアのアルゴリズムとホプロフトのアルゴリズムの計算的挙動と時間計算量はどのように異なり、互いに模倣可能か？
• RQ2 ホプロフトのアルゴリズムの平均ケース時間計算量は何か？ムーアのアルゴリズムは既知のO(n log n)の平均性能を示すが、それとの比較は？
• RQ3 状態統合アルゴリズムは、有向無閉路オートマトンを越えて、単純なサイクル成分や多項式的に有界な言語を持つ一般クラスへと拡張可能か？
• RQ4 語の追加や削除に伴うインクリメンタルなオートマトン最小化におけるアルゴリズム的課題と計算量の上限は何か？
• RQ5 最小非決定的オートマトンが一意になる条件は何か？一般に非決定的オートマトンの最小化の計算量の複雑さは？

主な発見

• ホプロフトのアルゴリズムは、最悪計算量O(n log n)を達成し、現在までで最も効率の良い汎用最小化アルゴリズムの一つである。
• ムーアのアルゴリズムは単純であるが、最悪計算量はO(n²)であるが、平均ケースではO(n log n)の性能を示す。一方、ホプロフトのアルゴリズムの平均ケースは未解析のままである。
• ホプロフトのアルゴリズムの計算をムーアのアルゴリズムが模倣できないことは、状態処理順序と精錬戦略の根本的な差異により、証明された。同様に、ムーアのアルゴリズムもホプロフトのアルゴリズムを模倣できない。
• リーブズの線形時間最小化アルゴリズムは、有向無閉路オートマトンに対して最適であり、トップロジカルオーダーを用いた同値状態の下流統合に基づく。
• アルマイダとツァイトゥーンの拡張により、単純なサイクル成分や多項式的に有界な言語を持つオートマトンに対しても、統合ベースのアプローチが一般化可能である。
• 非決定的オートマトンの最小化は、NP困難である。無ambiguousなクラスやδ-NFAのような制限付きクラスに対しても同様であり、最小化の近似も計算的に困難である。