[論文レビュー] Minimization problems involving nonlocal functionals: nonlocal minimal surfaces and a free boundary problem

Luca Lombardini|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 78被引用数 4

ひとこと要約

本学位論文は、非局所的汎関数を含む最小化問題を調査し、特に s-分数的断面積とその最小化集合（s-最小集合と呼ばれる）に焦点を当てる。本研究では、特に高次に非局所的な状態（小さな s）におけるこれらの集合の存在性、コンパクト性、正則性に関する結果を確立し、有界な偏微分係数をもつ全空間における非局所的最小グラフに対して平坦性に関する結果を証明する。主な貢献として、非局所的エネルギーと古典的断面積を組み合わせた自由境界問題に対する Weiss 型の単調性公式を確立する。

ABSTRACT

This doctoral thesis is devoted to the analysis of some minimization problems that involve nonlocal functionals. We are mainly concerned with the $s$-fractional perimeter and its minimizers, the $s$-minimal sets. We investigate the behavior of sets having (locally) finite fractional perimeter and we establish existence and compactness results for (locally) $s$-minimal sets. We study the $s$-minimal sets in highly nonlocal regimes, that correspond to small values of the fractional parameter $s$. We introduce a functional framework for studying those $s$-minimal sets that can be globally written as subgraphs. In particular, we prove existence and uniqueness results for minimizers of a fractional version of the classical area functional and we show the equivalence between minimizers and various notions of solution of the fractional mean curvature equation. We also prove a flatness result for entire nonlocal minimal graphs having some partial derivatives bounded from either above or below. Moreover, we consider a free boundary problem, which consists in the minimization of a functional defined as the sum of a nonlocal energy, plus the classical perimeter. Concerning this problem, we prove uniform energy estimates and we study the blow-up sequence of a minimizer---in particular establishing a Weiss-type monotonicity formula.

研究の動機と目的

• 有限な分数的断面積をもつ集合の挙動を分析すること、特に高次に非局所的な状態（小さな s）における挙動を対象とすること。
• （局所的に）s-最小集合の存在性とコンパクト性に関する結果を確立し、先行研究を拡張すること。
• 非局所的最小グラフを研究し、偏微分係数が有界である条件の下で平坦性に関する結果を証明すること。
• 非局所的エネルギーと古典的断面積を組み合わせた自由境界問題を調査し、一様なエネルギー推定と Weiss 型の単調性公式を証明すること。
• s-最小集合の部分グラフのための関数的枠組みを構築し、最小化集合と分数的平均曲率方程式の解との間の同値性を証明すること。

提案手法

• 集合の特性関数を含む特異積分を用いた s-分数的断面積関数の定義を利用する。
• 一般化されたcoarea公式と滑らかな集合による近似を用いて、有限な分数的断面積をもつ集合を研究する。
• 非局所的最小グラフを分析し、最小化集合の存在・一意性を証明するための部分グラフのための関数的枠組みを導入する。
• 最小化集合の吹き出し解析を用いて、自由境界問題に対する Weiss 型の単調性公式を導出する。
• 密度に関する議論と滑らか化技術を用いて、sp < 1 のとき、C∞_c(Ω) が W^{s,p}(Ω) に稠密であることを証明する。
• 可視的解および弱解理論を適用し、分数的面積汎関数の最小化集合と分数的平均曲率方程式の解との関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小さな s における s-最小集合はどのように振る舞い、どのような構造的性質を示すのか？
• RQ2 偏微分係数が上または下で有界であるとき、全空間における非局所的最小グラフが平坦であるための条件は何か？
• RQ3 非局所的平均曲率は無限遠でどのように振る舞い、s-最小集合の分類においてどのような役割を果たすのか？
• RQ4 非局所的エネルギーと古典的断面積を組み合わせた問題における自由境界の正則性はどの程度か？
• RQ5 分数的面積汎関数の最小化集合は、分数的平均曲率方程式の解として同値に特徴付けられるか？

主な発見

• 小さな s に対して、s-最小集合は境界に完全に「くっつく」性質を示し、境界に強く、取り除けない形で接する。
• 偏微分係数が上または下で有界な全空間における非局所的最小グラフは、必ずアフィン関数であることが示され、Bernstein-Moser 型の剛性結果が得られる。
• 分数的面積汎関数（FM_s）の最小化集合は、可視的解としての分数的平均曲率方程式の解と同値である。
• 自由境界問題に対して Weiss 型の単調性公式が確立され、吹き出し解析と正則性に関する結果の導出が可能になる。
• 自由境界問題に対して一様なエネルギー推定が証明され、最小化集合の吹き出し列は、同次的最小化集合に収束する。
• s < 1/2 のとき、適切な仮定の下で原点の近傍において自由境界は正則（C^1,α）である。