[論文レビュー] Minimizing Completion Times of Stochastic Jobs on Parallel Machines is Hard

Benjamin Moseley, Kirk Pruhs+2 more|University of Twente Research Information|Jan 24, 2026

Scheduling and Optimization Algorithms被引用数 0

ひとこと要約

要約する直接的な一文で、論文は並列同一機械上の確率的ジョブの期待総加重完了時間を最小化する問題の #P-hard 性を、二点分布と単位重みを前提として示し、WSEPT/SEPT の評価が #P-hard であることを示す。

ABSTRACT

This paper considers the scheduling of stochastic jobs on parallel identical machines to minimize the expected total weighted completion time. While this is a classical problem with a significant body of research on approximation algorithms over the past two decades, constant-factor performance guarantees are currently known only under very restrictive assumptions on the input distributions, even when all job weights are identical. This algorithmic difficulty is striking given the lack of corresponding complexity results: to date, it is conceivable that the problem could be solved optimally in polynomial time. We address this gap with hardness results that demonstrate the problem's inherent intractability. For the special case of discrete two-point processing time distributions and unit weights, we prove that deciding whether there exists a scheduling policy with expected cost at most a given threshold is #P-hard. Furthermore, we show that evaluating the expected objective value of the standard (W)SEPT greedy policy is itself #P-hard. These represent the first hardness results for scheduling independent stochastic jobs and min-sum objective that do not merely rely on the intractability of the underlying deterministic counterparts.

研究の動機と目的

• 確率的並列機械スケジューリングが決定論的スケジューリングより計算的に困難かを動機付ける。
• restricted two-point 分布の下で、方針が閾値の期待コストを達成するかを判断することが #P-hard であることを示す。
• WSEPT/SEPT のような一般的な方針の期待目的関数の評価が #P-hard であることを確立する。
• 決定的還元に依存せず、最小和目的への難易度へ拡張する。

提案手法

• WSEPT/SEPT の期待開始時間の差によって可 feasibile 解をカウントすることをエンコードするナップサックベースの還元を構築する。
• 処理時間を1/nまたは s_j とする、各確率1/2の独立なナップサック型確率的ジョブを定義する。
• ブロッカー作業とダミー作業を用いて、WSEPT/SEPT下で同一か異なるスケジュールを強制する2つのインスタンスを作成する。
• ナップサックの可行な部分集合を数える #P-hard 性から、E[sum w_j C_j] または E[sum C_j] の計算の #P-hard を導く。
• ブロッカー作業の実現を条件付けしてコスト差を解析することにより、WSEPT/SEPT の正確な期待コストの計算が #P-hard であることを証明する。

Figure 1: Illustration for an instance with $n=m=9$ : Schedules for the two scheduling instances with blocker jobs (blue), knapsack jobs (striped), and dummy job (tiled) for some NO realization of the processing times. Note that except for the knapsack job on machine no. 2, all start times are ident

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 並列同一機械上で E[sum_j w_j C_j] を最小化する最適スケジューリング方針を計算する問題は #P-hard か。
• RQ2 制約付き分布下でも、固定方針（例：WSEPT または SEPT）の正確な期待コストを評価することは #P-hard か。
• RQ3 非加重の場合や分布が2点のみのときにも難易度は継続するか。
• RQ4 確率的問題は決定的な SPT 基準とどのように難易度で関係するか。
• RQ5 方針評価から、閾値コストに関する決定問題へ難易度を拡張できるか。

主な発見

• 分布が二点の処理時間と単位重みに対する確率的並列機械スケジューリング問題で、方針が与えられた閾値コストを達成するかを決定することは #P-hard である。
• WSEPTまたはSEPT の正確な期待目的値を計算することは #P-hard。
• 確率的スケジューリングの最小和目的に対する初めての難易度証拠を、決定的対応物に依存せずに提供する。
• 制限された確率性と同一機械の下でも難易度は成り立ち、確率的問題をその決定論的類似物から分離する。
• 確率的ジョブの最小コストスケジューリング問題は #P-hard であり、最適方針の計算と一般的な方針の正確評価の両方の計算困難性を意味する。