[論文レビュー] Minimizing Cost Register Automata over a Field

Yahia Idriss Benalioua, Nathan Lhote+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2023

semigroups and automata theory被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、線形更新を持つ体上のコストレジスタオートマトン（CRA）のレジスタ最小化問題を、重み付きオートマトンから導出された新しい代数的不変量「線形ハロー」を導入することで解決する。この不変量を効率的に計算するアルゴリズムを用いることで、レジスタ最小化が2-ExpTimeで決定可能であり、状態・レジスタ最小化がNExpTimeで決定可能であることを確立し、タイトな複雑さの上限を提供するとともに、アフィン更新への拡張も行う。

ABSTRACT

Weighted automata (WA) are an extension of finite automata that define functions from words to values in a given semiring. An alternative deterministic model, called Cost Register Automata (CRA), was introduced by Alur et al. It enriches deterministic finite automata with a finite number of registers, which store values, updated at each transition using the operations of the semiring. It is known that CRA with register updates defined by linear maps have the same expressiveness as WA. Previous works have studied the register minimization problem: given a function computable by a WA and an integer k, is it possible to realize it using a CRA with at most k registers? In this paper, we solve this problem for CRA over a field with linear register updates, using the notion of linear hull, an algebraic invariant of WA introduced recently by Bell and Smertnig. We then generalise the approach to solve a more challenging problem, that consists in minimizing simultaneously the number of states and that of registers. In addition, we also lift our results to the setting of CRA with affine updates. Last, while the linear hull was recently shown to be computable by Bell and Smertnig, no complexity bounds were given. To fill this gap, we provide two new algorithms to compute invariants of WA. This allows us to show that the register (resp. state-register) minimization problem can be solved in 2-ExpTime (resp. in NExpTime).

研究の動機と目的

• 体上の線形更新を持つコストレジスタオートマトン（CRA）のレジスタ最小化問題を解く。
• CRAにおける状態とレジスタの同時最小化にその解決法を拡張する。
• 重み付きオートマトンの強力なZ線形およびZアフィン不変量を効率的に計算し、レジスタ複雑さの推定を可能にする。
• 不変量の計算における複雑さのギャップを埋めるために2-ExpTimeアルゴリズムを提供する。
• 線形更新に加え、アフィンレジスタ更新を持つCRAへの結果の一般化とその複雑さの分析を行う。

提案手法

• 重み付きオートマトン（WA）に最近導入された線形ハロー不変量を活用する。線形ハロー不変量とは、すべての到達可能な構成を含む最強のZ線形またはZアフィン集合として定義される。
• 特にザリスキ位相を用いて、代数幾何学的手法を用いてCRAにおける到達可能なレジスタ値の構造を特徴付ける。
• 行列表現と体上の線形代数に基づいて、WAの最強Z線形およびZアフィン不変量を計算する2つの新しいアルゴリズムを設計する。
• 線形ハローの次元を用いて、与えられた有理系列を計算するためのCRAに必要な最小レジスタ数を決定する。
• 不変量計算アルゴリズムを用いて、レジスタ最小化問題を線形ハローの次元の計算に還元する。
• 不変量計算をアフィン部分空間に適応することで、アフィン更新への拡張を図り、状態・レジスタトレードオフの決定可能性をNExpTimeで示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体上のCRAを用いて有理系列を実現するために必要な最小レジスタ数をアルゴリズム的に計算できるか？
• RQ2 重み付きオートマトンの最強Z線形またはZアフィン不変量を計算する計算複雑度は何か？
• RQ3 CRAにおける状態数とレジスタ数を同時に最小化することは可能か？そのトレードオフの境界は何か？
• RQ4 線形更新に限らず、アフィンレジスタ更新を持つCRAに対しても結果を拡張可能か？
• RQ5 体上のCRAのレジスタ最小化問題の正確な複雑さは何か？2-ExpTimeより改善可能か？

主な発見

• 線形CRAの体上におけるレジスタ最小化問題は、最強Z線形不変量の次元をレジスタ複雑さとして用いることで2-ExpTimeで決定可能である。
• 線形CRAの状態・レジスタ最小化問題はNExpTimeで決定可能であり、線形ハローの次元と不変量の長さに基づいて、状態数とレジスタ数の境界が得られる。
• 重み付きオートマトンの最強Z線形およびZアフィン不変量は2-ExpTimeで計算可能であり、これにより先行研究が残した複雑さのギャップが解消された。
• 一文字アルファベットまたは可換な遷移行列をもつWAでは、複雑さがExpTimeに低下し、境界はタイトである。
• 本手法はアフィン更新へ一般化可能であり、アフィン設定下でも状態・レジスタ最小化問題はNExpTimeで解ける。
• 本論文は、最強不変量が状態数の観点で最適なCRAを常に与えるわけではないことを示しており、不変量の強さと状態最小化の間にはトレードオフがあることを示唆している。