[論文レビュー] Minimizing Makespan in Sublinear Time via Weighted Random Sampling

Bin Fu, Yumei Huo+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2026

Scheduling and Optimization Algorithms被引用数 0

ひとこと要約

この論文は、重み付きランダムサンプリングを用いたm台の同時機械における最長待ち時間問題（makespan）について、2つのサブリニア時間の確率的近似スキームを提示し、既知および未知のnに対して(1+ε)近似の最長待ち時間とスケッチスケジュールを提供する。

ABSTRACT

We consider the classical makespan minimization scheduling problem where $n$ jobs must be scheduled on $m$ identical machines. Using weighted random sampling, we developed two sublinear time approximation schemes: one for the case where $n$ is known and the other for the case where $n$ is unknown. Both algorithms not only give a $(1+3ε)$-approximation to the optimal makespan but also generate a sketch schedule. Our first algorithm, which targets the case where $n$ is known and draws samples in a single round under weighted random sampling, has a running time of $ ilde{O}( frac{m^5}{ε^4} \sqrt{n}+A(\ceiling{m\over ε}, ε ))$, where $A(\mathcal{N}, α)$ is the time complexity of any $(1+α)$-approximation scheme for the makespan minimization of $\mathcal{N}$ jobs. The second algorithm addresses the case where $n$ is unknown. It uses adaptive weighted random sampling, % extit{that is}, it draws samples in several rounds, adjusting the number of samples after each round, and runs in sublinear time $ ilde{O}\left( frac{m^5} {ε^4} \sqrt{n} + A(\ceiling{m\over ε}, ε ) ight)$. We also provide an implementation that generates a weighted random sample using $O(\log n)$ uniform random samples.

研究の動機と目的

• m個の同一マシンに対する古典的な最長待ち時間問題のサブリニア時間のランダム化アルゴリズムを開発する。
• 不均衡なジョブサイズを扱い入力依存性を減らすために重み付きランダムサンプリングを活用する。
• スケッチスケジュールを提供し、近似最適な最長待ち時間に近い実際のスケジュールをポストホックで構築できるようにする。

提案手法

• 各ジョブのサンプリング確率をその処理時間に比例させて重み付きランダムサンプリングを用いる。
• 推定処理時間区間でジョブをグループ化し、主要なOPT(I)特性を保持するサブリニアサイズの入力スケッチを構築する。
• (1+α)近似スキームを黒箱として最大ジョブに適用し、残りをバッチ処理して(1+ε)近似を達成するメタアルゴリズムを適用する。
• スケッチが(α,β1,β2)-スケッチであり、各区間の個数とスケッチのOPTに対する保証を提供し、OPT(I)をサブリニット時間で計算可能にする。
• 既知のnの場合は単一ラウンドのサンプリングを、未知のnの場合は適応的重み付きサンプリングを用いることでアルゴリズムを区別する。
• スケッチからスケジュールスケッチを導出し、データ全量が利用可能になったときにはそれを完全なスケジュールへ拡張する方法を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 m個の同一マシンに対して重み付きサンプリングを用い sublinear 時間で(1+ε)近似を達成できるか。
• RQ2 既知および未知のnの両方に対して、最長待ち時間の本質的構造を保持する入力のコンパクトなスケッチをどのように構築するか。
• RQ3 一般的な(1+α)-近似アルゴリズムをスケッチと組み合わせて元のインスタンスに対して(1+ε)近似を得るにはどうすればよいか。
• RQ4 既知と未知のnのシナリオにおける計算時間保証とスケッチサイズの境界は何か。

主な発見

• 既知のnの場合、(1+ε)近似アルゴリズムがtilde-O(m^5/ε^4 * sqrt(n) + A(ceil(m/ε), ε))時間で動作する。
• 未知のnの場合、(1+ε)近似アルゴリズムがtilde-O(m^5/ε^4 * sqrt(n) + A(ceil(m/ε), ε))時間で動作する。
• アルゴリズムは、空間O(m^2/ε^2 * log(mn^2))（既知のn）またはO(m^2/ε^2 * log(nm/ε))（未知のn）で表現されるスケッチスケジュールを生成し、後に具体的なスケジュールを作成でき、最長待ち時間は少なくとも(1+3ε)OPT(I)になる。
• このアプローチは、重み付きサンプリング、一般化バースデー・パラドックスの議論、および最長待ち時間のブラックボックス近似スキームを組み合わせて、サブリニア時間解を達成する。
• 実用的な実装として、O(log n)個の一様サンプルを用いて重み付きサンプルを生成する手法を提供する。
• スケッチベースの手法は、すべてのジョブ情報が利用可能になった時点でスケッチスケジュールを完全なスケジュールへ変換することを可能にする。