[論文レビュー] Minimizing Polynomial Functions

Pablo A. Parrilo, Bernd Sturmfels|ArXiv.org|Mar 26, 2001

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 2被引用数 72

ひとこと要約

本稿では、多項式関数のグローバル最小化のための半定値計画法に基づく緩和法を提案する。この手法は、平方和（SOS）とポジティヴィステルンサツの定理を活用する。実験的に、特に高次多項式において、従来の代数的手法（グレブナー基底やホモトピー法）よりも優れた性能を示し、次数が固定されている場合にはグローバル最小値を多項式時間で計算可能であることを示している。

ABSTRACT

We compare algorithms for global optimization of polynomial functions in many variables. It is demonstrated that existing algebraic methods (Gröbner bases, resultants, homotopy methods) are dramatically outperformed by a relaxation technique, due to N.Z. Shor and the first author, which involves sums of squares and semidefinite programming. This opens up the possibility of using semidefinite programming relaxations arising from the Positivstellensatz for a wide range of computational problems in real algebraic geometry. This paper was presented at the Workshop on Algorithmic and Quantitative Aspects of Real Algebraic Geometry in Mathematics and Computer Science, held at DIMACS, Rutgers University, March 12-16, 2001.

研究の動機と目的

• グローバル多項式最適化における伝統的な代数的手法と、新しい緩和技術を比較・対比すること。
• 半定値計画法に基づく緩和手法が、グレブナー基底、結果式、ホモトピー法よりも計算効率に優れていることを実証すること。
• ポジティヴィステルンサツが、実代数幾何学の問題における不可解性の証明に用いられることを確立すること。
• 次数が固定されている場合、多項式のグローバル最小化が半定値計画法を用いて多項式時間で解けることを示すこと。
• 新しい計算パラダイムの提案：実多項式問題を解くために、ポジティヴィステルンサツ＋半定値計画法を用いること。

提案手法

• グローバル最小化問題を、f(x) − λ が ℝ[x₁,…,xₙ] 内の平方和（SOS）であるような最大の λ を求める問題に定式化する。
• 半定値計画法（SDP）を用いて、そのような最大の λ を計算し、グローバル最小値 f* の下界を得る。
• SDPの双対性を用いて、λ = f* のときに最適性を証明し、最適解 p* も回復する。
• ポジティヴィステルンサツを活用して、多項式不等式・等式の連立系に対する不可解性の証明を、SOS恒等式を用いて構築する。
• 次数 D を段階的に上げた SDP の緩和を用いて、多項式系の不可解性をテストするか、制約付きで f を最小化する。
• SOS多項式を正定値行列として表現し、内点法を用いて得られる SDP を解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平方和に基づく半定値計画法の緩和は、グレブナー基底のような古典的代数的手法よりも、グローバル多項式最適化において優れていると言えるか？
• RQ2 平方和の緩和は、多項式関数に対してどの程度正確にグローバル最小値 f* を得られるか？
• RQ3 ポジティヴィステルンサツは、多項式方程式・不等式の連立系に対する不可解性の証明に効果的に用いられるか？
• RQ4 特に次数が固定されている場合に、SOS と半定値計画法を用いて多項式のグローバル最小値を計算する計算量的複雑度はどの程度か？
• RQ5 有界次数 D の SDP の緩和は、実代数幾何学の問題を解くための実用的でスケーラブルな手法と見なせるか？

主な発見

• 平方和に基づく半定値計画法の緩和手法は、計算実験において、グレブナー基底やホモトピー法といった従来の代数的手法を一貫して上回る性能を示した。
• 次数が固定された多項式では、半定値計画法を用いてグローバル最小値を多項式時間で計算可能である。
• 計算実験において、この緩和手法は、n = 15 変数まで含む問題においても、ほぼすべてのケースで正確なグローバル最小値（λ = f*）を達成した。
• SDPの双対性により最適性の証明が可能であり、λ = f* のときには最小化点 p* も同時に回復できる。
• ポジティヴィステルンサツにより、SOS恒等式を構築することで、多項式系の不可解性を体系的かつ体系的に証明できる。このSOS恒等式はSDPで計算可能である。
• 2次SDPの緩和により、{x − y² + 3 ≥ 0, y + x² + 2 = 0} の系に対して、明示的なSOS恒等式を用いて不可解性が証明された。