[論文レビュー] Minimum cell connection and separation in line segment arrangements

Helmut Alt, Sergio Cabello+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2011

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、線分配置における3つの基本的問題の計算複雑性を調査する。すなわち、2点を接続するために最小限の線分を削除する問題（2-Cells-Connection）、配置全体を1つのセルにまとめる問題（All-Cells-Connection）、および保持された線分によって2点を分離する問題（2-Cells-Separation）。2-Cells-ConnectionおよびAll-Cells-Connectionは一般位置においてもNP困難であることが示され、一方2-Cells-Separationは、サイクル空間における3パス条件に基づく新規なトポロジカルアプローチにより、O(n² + nk)時間で解ける。さらに、穴の数が固定された多角形内に線分が存在する制限付き2-Cells-Connection問題に対し、近線形時間アルゴリズムが提供される。

ABSTRACT

We study the complexity of the following cell connection and separation problems in segment arrangements. Given a set of straight-line segments in the plane and two points $a$ and $b$ in different cells of the induced arrangement: (i) compute the minimum number of segments one needs to remove so that there is a path connecting $a$ to $b$ that does not intersect any of the remaining segments; (ii) compute the minimum number of segments one needs to remove so that the arrangement induced by the remaining segments has a single cell; (iii) compute the minimum number of segments one needs to retain so that any path connecting $a$ to $b$ intersects some of the retained segments. We show that problems (i) and (ii) are NP-hard and discuss some special, tractable cases. Most notably, we provide a linear-time algorithm for a variant of problem (i) where the path connecting $a$ to $b$ must stay inside a given polygon $P$ with a constant number of holes, the segments are contained in $P$, and the endpoints of the segments are on the boundary of $P$. For problem (iii) we provide a cubic-time algorithm.

研究の動機と目的

• 2点を接続または分離するために、最小限の線分を削除することによる計算複雑性を同定すること。
• 線分の削除によって配置全体を1つのセルにまとめる問題の複雑性を調査すること。
• 2点間の任意の経路が少なくとも1本の保持線分と交差するようにするための最小線分保持数を分析すること。
• 線分が穴を含む多角形内にあり、端点が境界上にあるといった幾何的制約下での取り扱いやすい変種を検討すること。
• 線分配置問題と、フィードバック頂点集合やMax-2-Satといった古典的グラフ問題との関連を確立すること。

提案手法

• Max-2-Satへの還元により、2-Cells-ConnectionのNP困難性を証明し、APX困難性を確立する。
• 線分の交差グラフにおけるフィードバック頂点集合問題への還元により、All-Cells-ConnectionのNP困難性を証明する。
• サイクル空間における3パス条件に基づき、2-Cells-SeparationのためのO(n² + nk)時間アルゴリズムを構築する。
• ホモトピー類とディスクを囲む曲線を用いたトポロジカル推論により、多角形制限付き2-Cells-Connection問題における線分をクラスタにグループ化する。
• 2^O(h⁴)個のクラスターサブセットを用いたクラスタベースの動的計画法により、h個の穴を持つ多角形における制限付き2-Cells-Connection問題を解く。
• 制限付き2-Cells-Separation問題を重み付き2-Cells-Separation問題に還元し、同じアルゴリズムフレームワークを用いて効率的に解けるようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2点が同じセルに属するようにするための最小線分削除数を求める2-Cells-Connection問題は、NP困難であるか？
• RQ2 配置全体を1つのセルにまとめるための線分削除によって、All-Cells-Connection問題は多項式時間で解けるか？
• RQ3 2点を分離するために最小限の線分を削除する2-Cells-Separation問題は、関連問題のNP困難性にもかかわらず、多項式時間アルゴリズムを有するか？
• RQ4 線分が穴の数が固定された多角形内にあり、端点が境界上にある場合、2-Cells-Connection問題は効率的に解けるか？
• RQ5 線分の真正の交差数が制限されている場合、2-Cells-Connection問題のパrameterized複雑性はいかなるものか？

主な発見

• 2-Cells-Connection問題は、一般位置（3本の線分が共通点で交差しない）においてもNP困難かつAPX困難である。
• All-Cells-Connection問題は、3本の線分が共通点で交差しない場合でさえもNP困難である。
• 2-Cells-Separation問題は、kが交差する線分ペアの数であるとき、O(n² + nk)時間で解ける。これはサイクル空間における3パス条件に基づく新規なアルゴリズムである。
• h個の穴を持つ多角形において、制限付き2-Cells-Connection問題は2^O(h⁴) · polylog n時間で解ける。hが固定されている場合、近線形時間アルゴリズムが得られる。
• 3本の線分が共通点で交差しない条件下では、All-Cells-Connection問題は解のサイズに関して固定パrameter可 tractableであり、2近似アルゴリズムが存在する。
• 多角形内での制限付き2-Cells-Separation問題は重み付き2-Cells-Separation問題に還元され、その効率的解法を継承する。