[論文レビュー] Minimum Coprime Labelings for Operations on Graphs

John Asplund, N. Bradley Fox|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2017

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、素数ラベルリングを有しないグラフ—隣接頂点が相対素なラベルを持つように、最小の最大ラベルを用いる—の最小素因数数 𝔪𝔠(G) を調査する。グラフの結合、結合、クラウン、パスおよびサイクルのべき演算などのグラフ操作を分析し、奇数サイクルの結合、パスおよびサイクルの結合、小さな空グラフとの完全グラフのクラウンなど、非素数の場合の 𝔪𝔠(G) の正確な公式を導出する。主な結果として、特定の条件下で 𝔪𝔠(Pₘ+Pₙ) = m+2n−2+(1−(−1)ᵐ)/2 および 𝔪𝔠(Cₘ+Cₙ) = m+2n−1−(−1)ᵐ が得られる。

ABSTRACT

A prime labeling of a graph of order $n$ is a labeling of the vertices with the integers $1$ to~$n$ in which adjacent vertices have relatively prime labels. A coprime labeling maintains the same criterion on adjacent vertices using any set of distinct positive integers. In this paper, we consider several families of graphs or products of graphs that have been shown to not have prime labelings and answer the natural question of how to label the vertices while minimizing the largest value in its set of labels.

研究の動機と目的

• 素数ラベルリングを許容しないグラフの最小素因数数 𝔪𝔠(G) を特定すること。標準的な {1,…,n} ラベルリングを超えて拡張する。
• パスおよびサイクルにおける不連続結合、結合、クラウン、およびグラフのべき演算（例：G², G³）などのグラフ操作を分析すること。
• 奇数サイクルの結合、パス・サイクル結合、完全グラフのクラウンなど、非素数グラフ族に対する最小素因数ラベルリングの未解決問題を解消すること。
• 木およびグリッドグラフの 𝔪𝔠(G) の境界を改善し、完全二部グラフ Kₘ,ₙ および Kₙ,ₙ に対する公式を探索すること。
• Kₙ⊙K̄ₘ および他の非素数グラフ族に対する最小素因数数に関する予想を提示し、それらを調査すること。

提案手法

• 素数および素因数列に基づく組合せ的ラベル戦略を用いて、頂点に相異なる正の整数を割り当てる。
• 隣接頂点が相対素なラベルを持つことを原則とし、使用する最大ラベルを最小化する。
• 素数のギャップおよび密度に関する定理（例：(14/13)⁹ < 2）を用いて、構築された列におけるラベルの素因数性を保証する。
• 奇数整数を予約し、高次元の頂点における衝突を避けるために素数ラベルをずらすことでラベルを構築する。
• パス、サイクル、およびそれらの操作に関する既知の素数性の結果を活用し、境界および正確な値を導出する。
• 対称性および偶奇性の議論（例：(−1)ᵐ）を用いて、結合および結合におけるグラフ次数の偶奇に基づくケースを処理する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Pₘ+Pₙ が素数でない場合、二つのパスの結合の最小素因数数は何か？
• RQ2 二つのサイクルの結合 Cₘ+Cₙ に対して、非素数の場合の最小素因数数の正確な公式を導出できるか？
• RQ3 素数ラベルリングが存在しない場合、Kₙ⊙K̄ₘ の最小素因数数は何か？
• RQ4 パスおよびサイクルの高次のべき（k≥4 の Gᵏ）に対して最小素因数数を特定できるか？
• RQ5 素数ラベルリングが不可能な場合、特に完全二部グラフに対して、𝔪𝔠(Kₘ,ₙ) の一般公式は存在するか？

主な発見

• m≥n の場合、二つのパスの結合 Pₘ+Pₙ に対して最小素因数数は 𝔪𝔠(Pₘ+Pₙ) = m+2n−2+(1−(−1)ᵐ)/2 であり、m の偶奇に応じて正確な値が決まる。
• m≥n かつ n≤10、または n≥5 の場合 m>118 であるとき、二つのサイクルの結合 Cₘ+Cₙ に対して最小素因数数は 𝔪𝔠(Cₘ+Cₙ) = m+2n−1−(−1)ᵐ である。
• サイクルとパスの結合 Cₘ+Pₙ に対しては、m≥n のとき 𝔪𝔠(Cₘ+Pₙ) = m+2n−1−(−1)ᵐ であり、n>m のとき 𝔪𝔠(Cₘ+Pₙ) = n+2m−2+(1−(−1)ᵐ)/2 である。
• m=1 または 2 の場合、Kₙ⊙K̄ₘ のクラウンに対して、本稿は 𝔪𝔠(Kₙ⊙K̄ₘ) の境界および予想を導出し、特定の予想では 𝔪𝔠(Kₙ⊙K̄ₘ) = pₙ₋₁ とし、mn≤pₙ₋₁−n−1 のとき、それ以外の場合は 𝔪𝔠(Kₙ⊙K̄ₘ) = mn+n+1 であると提案している。
• 本稿は、m≥10 のとき、奇数整数とずらした素数を用いたラベル戦略が、Pₘ に対して最小素因数ラベルリングをもたらすことを確認している。すべての奇数ラベルは使用された最大の奇数素数未満にある。
• 予想28では、すべての m≥n に対して 𝔪𝔠(Pₘ+Pₙ) = m+2n−2+(1−(−1)ᵐ)/2 が成り立つとし、証明済みのケースを超えてパス結合の普遍的な公式を示唆している。