[論文レビュー] Minimum cycle and homology bases of surface embedded graphs

Glencora Borradaile, Erin Wolf Chambers+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2016

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 23被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、 genus $g$ の曲面上に埋め込まれたグラフにおける最小サイクル基底およびホモロジー基底を計算する決定的アルゴリズムを提示する。最小サイクル基底に対しては $O(n^{\omega} + 2^{2g}n^2 + m)$ 時間、最小ホモロジー基底に対しては $O((g+b)^3n\log n + m)$ 時間を達成し、一般グラフに対する既存のアルゴリズムを改善している。この成果は、サイクル二重被覆と曲面上に埋め込まれたグラフにおける複数ソースの最短経路の利用に依存している。

ABSTRACT

We study the problems of finding a minimum cycle basis (a minimum weight set of cycles that form a basis for the cycle space) and a minimum homology basis (a minimum weight set of cycles that generates the $1$-dimensional ($\mathbb{Z}_2$)-homology classes) of an undirected graph embedded on a surface. The problems are closely related, because the minimum cycle basis of a graph contains its minimum homology basis, and the minimum homology basis of the $1$-skeleton of any graph is exactly its minimum cycle basis. For the minimum cycle basis problem, we give a deterministic $O(n^ω+2^{2g}n^2+m)$-time algorithm for graphs embedded on an orientable surface of genus $g$. The best known existing algorithms for surface embedded graphs are those for general graphs: an $O(m^ω)$ time Monte Carlo algorithm and a deterministic $O(nm^2/\log n + n^2 m)$ time algorithm. For the minimum homology basis problem, we give a deterministic $O((g+b)^3 n \log n + m)$-time algorithm for graphs embedded on an orientable or non-orientable surface of genus $g$ with $b$ boundary components, assuming shortest paths are unique, improving on existing algorithms for many values of $g$ and $n$. The assumption of unique shortest paths can be avoided with high probability using randomization or deterministically by increasing the running time of the homology basis algorithm by a factor of $O(\log n)$.

研究の動機と目的

• 曲面に埋め込まれた無向グラフにおける最小サイクル基底およびホモロジー基底を計算するための効率的アルゴリズムの開発。
• 一般グラフに対する既存の $O(m^\omega)$ および $O(nm^2/\log n + n^2m)$ 時間のアルゴリズムを、曲面の位相構造を活用することで改善すること。
• 一意な最短経路の仮定の下で最小ホモロジー基底問題に対する決定的アルゴリズムを提供し、非一意な経路に対応するための確率的または決定的変種を提示すること。
• 平面グラフから高 genus の曲面への技術の一般化、特にサイクル二重被覆と複数ソースの最短経路オラクルの利用。
• 最小サイクル基底とホモロジー基底の間の関係を確立し、曲面上に埋め込まれたグラフでは最小サイクル基底が最小ホモロジー基底を含むことを示すこと。

提案手法

• ホモロジー類の照会を最短経路問題に還元できるように、$\beta$ ビットのサポートベクトル $S$ に関するグラフ $G$ のサイクル二重被覆 $G^2_S$ を構築する。
• $G$ 内の $O(\beta)$ 個の最短経路の集合 $\Pi$ を用意し、すべての非自明ホモロジー類を表すサイクルが $\Pi$ の少なくとも1本の経路と交差することを保証する。これにより、すべてのホモロジー類がカバーされる。
• $\sigma \in \Pi$ の最短経路を二重被覆 $G^2_S$ に持ち上げ、頂点 $(s,0)$ および $(s,1)$ からの最短経路を計算することで、非自明なホモロジー類を表すサイクルを特定する。
• 表面 $\Sigma^2_S$ を持ち上げた経路 $\hat{\sigma}$ に沿ってカットし、複数ソースの最短経路オラクル（補題 6.7）を適用することで、境界頂点からそれに対応する頂点への最短経路照会を効率的に行う。
• 各サポートベクトル $S$ で定義されるホモロジー類に対して、$\langle S, [\gamma]_h \rangle = 1$ を満たす最小重みサイクル $\gamma$ を二重被覆上の最短経路計算により求める。
• 上記手順を $O(\beta)$ 個の基底ベクトル $S$ 全てに対して繰り返し、最小重みホモロジー基底を構築する。全体の計算量は $O((g+b)^3n\log n + m)$ となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲面に埋め込まれたグラフの最小サイクル基底は、位相的構造を活用することで、一般グラフに対するアルゴリズムよりも効率的に計算可能か？
• RQ2 genus $g$ で $b$ 個の境界成分をもつ曲面上に埋め込まれたグラフにおける最小ホモロジー基底の計算量はどの程度か？
• RQ3 最短経路技術は、曲面上の特定のホモロジー類における最小重みサイクルの計算にどのように適合できるか？
• RQ4 サイクル二重被覆は、ホモロジー類の照会を最短経路問題に還元するために果たす役割は何か？
• RQ5 一意な最短経路の仮定を外しても、実行時間の著しい増加なしに処理可能か？

主な発見

• 本稿では、genus $g$ の可換曲面に埋め込まれたグラフにおける最小サイクル基底を計算する決定的アルゴリズムを提示し、計算量は $O(n^{\omega} + 2^{2g}n^2 + m)$ である。これは一般グラフに対する既存のアルゴリズムを改善している。
• 最小ホモロジー基底問題に対しては、$O((g+b)^3n\log n + m)$ 時間の計算量を達成しており、$g$ や $n$ の多くの値において既存のアルゴリズムよりも高速である。
• アルゴリズムは一意な最短経路の仮定を仮定しているが、確率的または決定的にランダム化することで、実行時間に $O(\log n)$ 要因の増加を伴ってこの仮定を外すことができる。
• グラフの最小サイクル基底はその最小ホモロジー基底を含み、任意のグラフの 1 スケルトンに対しては、最小ホモロジー基底と最小サイクル基底が一致する。
• サイクル二重被覆と複数ソースの最短経路オラクルの利用により、非自明なホモロジー類における最小重みサイクルの計算が効率的に行える。
• 二重被覆 $\Sigma^2_S$ のgenus は、可換曲面では $\beta = 2g - \max\{b-1, 0\}$、非可換曲面では $\beta = g - \max\{b-1, 0\}$ に対して $O\left(\beta\right)$ で抑えられ、複雑さが管理可能である。