[論文レビュー] Minimum degree condition forcing complete graph immersion

Matt DeVos, Zdenĕk Dvořák+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 12被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、単純グラフにおける最小次数が 200t 以上であると、完全グラフ K_t の強い埋め込みが強制されることを確立している。密度の高いグラフでは、長さ2のパスを用いた、サイズが c²n 以上のクリーク埋め込みが達成可能である。本研究は、パール・セイヤーの予想を解決し、平均次数 d のグラフのライングラフが Ω(d³/²) のクリークマイナーを含むことを示した。

ABSTRACT

An immersion of a graph $H$ into a graph $G$ is a one-to-one mapping $f:V(H) o V(G)$ and a collection of edge-disjoint paths in $G$, one for each edge of $H$, such that the path $P_{uv}$ corresponding to edge $uv$ has endpoints $f(u)$ and $f(v)$. The immersion is strong if the paths $P_{uv}$ are internally disjoint from $f(V(H))$. It is proved that for every positive integer $t$, every simple graph of minimum degree at least $200t$ contains a strong immersion of the complete graph $K_t$. For dense graphs one can say even more. If the graph has order $n$ and has $2cn^2$ edges, then there is a strong immersion of the complete graph on at least $c^2 n$ vertices in $G$ in which each path $P_{uv}$ is of length 2. As an application of these results, we resolve a problem raised by Paul Seymour by proving that the line graph of every simple graph with average degree $d$ has a clique minor of order at least $cd^{3/2}$, where $c>0$ is an absolute constant. For small values of $t$, $1\le t\le 7$, every simple graph of minimum degree at least $t-1$ contains an immersion of $K_t$ (Lescure and Meyniel, DeVos et al.). We provide a general class of examples showing that this does not hold when $t$ is large.

研究の動機と目的

• 単純グラフにおける完全グラフ K_t の強い埋め込みを強制する最小次数条件を同定すること。
• グラフ埋め込みに関する結果を密度の高いグラフへと拡張し、高い辺密度が短いパスを用いた大きなクリーク埋め込みを可能にすることを示すこと。
• 与えられた平均次数を持つグラフのライングラフにおけるクリークマイナーのサイズに関するパール・セイヤーの予想を解決すること。
• 最小次数、辺密度、および埋め込み／マイナー包含の関係に関するグラフの構造的洞察を提供すること。

提案手法

• 頂点対間の辺に重複のないパスを構成する構成的技法を用い、K_t の強い埋め込みを保証する。
• 適切に選ばれた頂点集合 S の補グラフにおいて、Vizingの定理を適用して辺を適切に彩色し、共有される内部頂点を通じてパスを割り当てる。
• 補グラフにおける距離の議論を用いて、パスの辺に重複がないことを保証し、パス構築における競合を回避する。
• 完全グラフをスパニングツリーに辺分解する Nash-Williams の定理を活用し、ライングラフにおけるクリークマイナーを構成する。
• 最小次数が埋め込みを強制することと、既知のクリークマイナーの境界を組み合わせて、漸近的下界を導出する。
• 素数定理と有限射影平面を用いて、ライングラフにおけるクリークマイナーの境界のタイトさを示す具体的な例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純グラフにおける完全グラフ K_t の強い埋め込みを強制する最小次数条件は何か？
• RQ2 グラフの辺密度は、短いパスを用いたクリーク埋め込みのサイズにどのように影響するか？
• RQ3 平均次数 d のグラフのライングラフに保証される最大のクリークマイナーのサイズは何か？
• RQ4 埋め込みに基づく技法を用いて、パール・セイヤーのライングラフマイナーに関する予想を解決できるか？
• RQ5 最小次数が K_t 埋め込みを保証する構造的閾値を有するか？また、これと既知のマイナーおよび部分グラフに関する結果と比較するとどうなるか？

主な発見

• 最小次数が 200t 以上の任意の単純グラフは、完全グラフ K_t の強い埋め込みを含む。
• n 個の頂点と 2cn² 条の辺を持つグラフに対しては、各パス P_uv が長さ 2 である K_{c²n} の強い埋め込みが存在する。
• 平均次数 d の任意の単純グラフのライングラフは、ある絶対定数 c > 0 を用いて、少なくとも cd³/² のサイズのクリークマイナーを含む。
• ライングラフにおけるクリークマイナーのサイズに対する Ω(d³/²) の境界は、極値的構成により定数因子を除いてタイトであることが示された。
• 頂点彩色と補グラフの距離制約を用いた辺に重複のないパスの構成により、パスの辺に重複がなく、埋め込みの正当性が保証された。
• 結果は、高い最小次数と高い辺密度が両方とも大きなクリーク埋め込みを強制することを支持しており、彩色数および埋め込みに関するより広範な予想を裏付けた。