[論文レビュー] Minimum Degree of the Difference of Two Polynomials over $\mathbb Q$. Part II: Davenport-Zannier pairs

Fedor Pakovich, Alexander K. Zvonkin|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、有理係数をもつDavenport–Zannier対の分類を完遂するために、単位木（unitrees）に対応するすべての多項式を計算した。単位木とは、頂点の次数分割によって一意に定まる重み付き二色平面木である。dessins d'enfants対応を用いて、10の無限系列（A–J）および10の例外的ケース（K–T）に対応するすべての多項式を明示的に導出し、それらが有理数体上に定義されることを証明し、Galois不変量を解析することで、ℚ上での多項式差の最小次数問題を解決した。

ABSTRACT

In this paper we study pairs of polynomials with a given factorization pattern and such that the degree of their difference attains its minimum. We call such pairs of polynomials Davenport--Zannier pairs, or DZ-pairs for short. The paper is devoted to the study of DZ-pairs with rational coefficients. In our earlier paper, in the framework of the theory of dessins d'enfants, we established a correspondence between DZ-pairs and weighted bicolored plane trees. These are bicolored plane trees whose edges are endowed with positive integral weights. When such a tree is uniquely determined by the set of black and white degrees of its vertices, it is called unitree, and the corresponding DZ-pair is defined over $\mathbb Q$. In our earlier paper, we classified all unitrees. In this paper, we compute all the corresponding polynomials. In the final part of the paper we present some additional material concerning the Galois theory of DZ-pairs and weighted trees.

研究の動機と目的

• 単位木（頂点の次数分割によって一意に定まる重み付き二色平面木）に対応するすべての多項式を計算すること。
• 単位木に関連するDavenport–Zannier対がℚ上に定義されることを確立し、先行研究による分類を拡張すること。
• DZ対およびそれらに対応する重み付き木におけるGalois作用を解析し、不変量と分裂挙動を同定すること。
• 無限系列A–Jおよび例外的ケースK–TのすべてのDZ対に対して明示的な解析的表現を与えること。
• 最小次数条件を緩和した場合のケースを検討し、非最小の差の次数であっても有理数解が得られる条件を同定すること。

提案手法

• Davenport–Zannier対と指定された頂点次数を持つ重み付き二色平面木との間のdessins d'enfants対応を活用すること。
• 先行研究[17]による単位木の分類を基盤として、すべての有理係数DZ対を構成すること。
• Belyi関数および対称な有理写像を用いて、各DZ対に対する明示的多項式表現を導出すること。
• 根および係数がすべてℚに属することを確認することで、構成された多項式の有理性を検証すること。
• モノドロミー作用と組合せ的軌道の分裂挙動を解析することで、Galois不変量を分析すること。
• 木の変更および立方体構成を用いて、非最小の差次数だが有理係数を持つ例を構成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理係数をもつDavenport–Zannier対のうち、単位木に対応するものは何か。その明示的多項式形はどのようなものか？
• RQ2 Galois群はDZ対およびそれらに対応する重み付き木にどのように作用するか。この作用から生じる不変量は何か？
• RQ3 理論的最小値を超過する差次数であっても、有理係数DZ対を構成できるか。どのような条件下で可能か？
• RQ4 同一のパスポートを持つ重み付き木が、非自明な対称性の破れを示しても、なぜDavenport–Zannier対がℚ上に定義されるのか？
• RQ5 特にGalois作用が分裂する場合に、木の組合せ的軌道がDZ対の定義体を決定する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 10の無限系列（A–J）および10の例外的木（K–T）に対応するDavenport–Zannier対は、すべて明示的に構成され、ℚ上に定義されていることが示された。
• パスポート (9⁵, 5⁹) に対応するDZ対は、ℚ上に定義されているが、既知のすべてのGalois不変量ではこの現象を説明できない。
• パスポート (k², 4¹1²ᵏ⁻⁴) を持つ無限族の木は、2つの非同型の木（1つは対称的、1つは非対称的）をもつ。それぞれがℚ上に定義されたDZ対を与える。
• k=7の場合、最小値k+1=8を超過する差の次数9を持つDZ対が構成され、AおよびBがともにℚ上に定義されている。
• k=6の場合、差多項式に重解をもつDZ対（次数9 > 最小7）が構成され、明示的な有理係数が与えられた。
• パスポート (k², 4¹1²ᵏ⁻⁴) の族に属する対称的および非対称的木のBelyi関数が明示的に与えられ、x=0における導関数の消失を確認することで正しさが検証された。