[論文レビュー] Minimum Enclosing Polytope in High Dimensions

Rina Panigrahy‎|ArXiv.org|Jul 8, 2004

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 9被引用数 35

ひとこと要約

この論文は、与えられた凸形状の最小包含多面体を高次元空間で計算するための貪欲な反復的アルゴリズムを提示する。許容される変換は、固定点まわりの回転または平行移動のみである。最小包含球や円柱に関しては、それぞれO(nd/ε)および2^{O(1/ε² log(1/ε))}ndの時間で(1+ε)-近似を達成し、このような問題に対してはサイズO(1/ε²)のコアセットの存在を確立する。

ABSTRACT

We study the problem of covering a given set of $n$ points in a high, $d$-dimensional space by the minimum enclosing polytope of a given arbitrary shape. We present algorithms that work for a large family of shapes, provided either only translations and no rotations are allowed, or only rotation about a fixed point is allowed; that is, one is allowed to only scale and translate a given shape, or scale and rotate the shape around a fixed point. Our algorithms start with a polytope guessed to be of optimal size and iteratively moves it based on a greedy principle: simply move the current polytope directly towards any outside point till it touches the surface. For computing the minimum enclosing ball, this gives a simple greedy algorithm with running time $O(nd/\eps)$ producing a ball of radius $1+\eps$ times the optimal. This simple principle generalizes to arbitrary convex shape when only translations are allowed, requiring at most $O(1/\eps^2)$ iterations. Our algorithm implies that {\em core-sets} of size $O(1/\eps^2)$ exist not only for minimum enclosing ball but also for any convex shape with a fixed orientation. A {\em Core-Set} is a small subset of $poly(1/\eps)$ points whose minimum enclosing polytope is almost as large as that of the original points. Although we are unable to combine our techniques for translations and rotations for general shapes, for the min-cylinder problem, we give an algorithm similar to the one in \cite{HV03}, but with an improved running time of $2^{O(\frac{1}{\eps^2}\log \frac{1}{\eps})} nd$.

研究の動機と目的

• 与えられた凸形状の高次元空間における最小包含多面体を効率的に近似計算するためのアルゴリズムを開発すること。
• 平行移動または固定点まわりの回転に制限された変換の下での問題を扱うこと。
• 固定方向または回転対称性をもつ最小包含多面体に対して、サイズO(1/ε²)の小さなコアセットの存在を確立すること。
• 最小包含円柱およびk次元フラット問題に対する既存のアルゴリズムの実行時間を改善すること。
• 最小包含球に限定されない、一般の凸形状へと貪欲な移動原理（未カバー領域に向かって多面体を直接移動させる）を一般化すること。

提案手法

• アルゴリズムは貪欲な原理に従う：反復的に、現在の多面体を境界に接触するまで、最も遠くの未カバー領域にある点に向かって移動させる。
• 最小包含球の場合、各ステップで最も遠い点に向かって球を移動させることで、O(nd/ε)の時間で実行される。
• 任意の凸形状に対して平行移動を適用する場合、最大O(1/ε²)回の反復が必要であり、収束を証明するためにポテンシャル関数が用いられる。
• 回転問題（例：円柱、円錐、楕円体）の場合、固定回転点を含む半空間に制限され、候補となる軸位置のメッシュベース探索が用いられる。
• 最適な半径を(1+ε)要因内で特定するために、半径について二分探索が用いられる。
• 決定的バージョンのアルゴリズムでは、ランダムな推測を排除し、各反復でO(1/ε²)個のメッシュ点を全探索することで、最小円柱問題に対して2^{O(1/ε² log(1/ε))}ndの実行時間を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 未カバー領域に向かって直接移動する単純な貪欲なアルゴリズムが、高次元における最小包含多面体に対して(1+ε)-近似を達成できるか？
• RQ2 固定点まわりの回転のみを許容する場合、最小包含円柱を計算する計算量の複雑さは何か？
• RQ3 固定方向または回転対称性をもつ最小包含多面体に対して、サイズO(1/ε²)のコアセットが存在するか？
• RQ4 この貪欲なフレームワークを用いることで、最小包含円柱およびkフラット問題に対する既存のアルゴリズムの実行時間を改善できるか？
• RQ5 一般の凸形状に対して、平行移動と回転の手法を組み合わせることは可能か、それともこのような組み合わせは円柱のような特殊な場合に限られるか？

主な発見

• アルゴリズムは、貪欲な移動戦略を用いて、最小包含球をO(nd/ε)時間で(1+ε)-近似で計算する。
• 任意の凸形状に対して平行移動を適用する場合、アルゴリズムは最大O(1/ε²)回の反復を要し、O(1/ε²)コアセットの存在を証明する。
• 半空間に制限された回転問題に対して、アルゴリズムは2^{O(1/ε²)}ndの時間で実行され、円柱や楕円体のような対称形状のコアセットの存在を確立する。
• 最小包含円柱問題に関しては、2^{O(1/ε² log(1/ε))}ndの実行時間を達成し、以前の2^{O(1/ε³ log²(1/ε))}ndの境界を改善する。
• k次元フラットの最小半径を計算する場合、時間exp(e^{O(k²)}/ε² log(1/ε))ndで実行可能であり、指数部において類似の改善が達成される。
• 半径が十分に大きい場合には、O(1/ε²)回の反復内でアルゴリズムが終了することが保証され、log(1/ε)回の試行で二分探索により半径が最適値の(1+ε)以内に保証される。