[論文レビュー] Minimum Entangling Power is Close to Its Maximum

Jianxin Chen, Zhengfeng Ji+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2012

Quantum Information and Cryptography参考文献 35被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、多数の量子ゲートに対して、フォン・ノイマンエントロピーまたはスレートランクによって測定される最小エンタングルメントパワーが、一般に最大値に非常に近いことを示している。これは、ランダムなゲートの最も弱いエンタングルメント能力でさえも、ほぼ最大であることを示唆している。濃縮の法則とリプシッツ連続性を用いて、著者らはランダムユニタリがすべての結合状態をほぼ最大エンタングルメント状態に写像することを示し、二部および多部系においてエンタングルメント生成の内在的耐障害性を確立した。

ABSTRACT

Given a quantum gate $U$ acting on a bipartite quantum system, its maximum (average, minimum) entangling power is the maximum (average, minimum) entanglement generation with respect to certain entanglement measure when the inputs are restricted to be product states. In this paper, we mainly focus on the 'weakest' one, i.e., the minimum entangling power, among all these entangling powers. We show that, by choosing von Neumann entropy of reduced density operator or Schmidt rank as entanglement measure, even the 'weakest' entangling power is generically very close to its maximal possible entanglement generation. In other words, maximum, average and minimum entangling powers are generically close. We then study minimum entangling power with respect to other Lipschitiz-continuous entanglement measures and generalize our results to multipartite quantum systems. As a straightforward application, a random quantum gate will almost surely be an intrinsically fault-tolerant entangling device that will always transform every low-entangled state to near-maximally entangled state.

研究の動機と目的

• 平均や最大エンタングルメントパワーとは対照的に、まだ十分に理解されていない量子ゲートの最小エンタングルメントパワーを調査すること。
• 一般の量子ゲートの最も弱いエンタングルメント能力が、最大可能なエンタングルメントに近いかどうかを特定すること。
• 二部系からの結果を多部系量子系へと拡張し、ランダムユニタリ変換下での一般エンタングルメント生成を確立すること。
• 量子ダイナミクスがエンタングルメントを生成する際の頑健性の理論的基盤を提供し、耐障害的量子計算への影響を示すこと。

提案手法

• 著者らはハール測度を用いてランダムユニタリゲートをサンプリングし、それらのエンタングルメントパワー分布を分析した。
• 濃縮の法則を適用することで、典型的なゲートにおいて最小エンタングルメントパワーがその平均のまわりにきつく集中していることを示した。
• フォン・ノイマンエントロピーに関して、下界を導出した：$ P_{\min}^{(S_v)}(U) \geq \log d_A - \frac{d_A}{d_B \ln 2} - 1 $、これは一般の $ U $ に対して有効である。
• テールバウンドを用いて、リプシッツ連続なエンタングルメント測度へ一般化した：$ \mu(|P_{\min}^{(f)}(U) - \mathbb{E}[P_{\min}^{(f)}(U)]| \geq \delta) < 2e^{-\frac{d_A d_B \delta^2}{4|f|_L^2}} $。
• スレートランクに関しては、正確な式を導出した：$ P_{\min}^{(SR)}(U) = \left\lceil \frac{d_A + d_B - \sqrt{(d_A - d_B)^2 + 4(d_A + d_B) - 8}}{2} \right\rceil $。
• 多部系へは、すべての二部分割における最小エンタングルメントパワーを定義し、$ \min d_i \geq 3 $ の場合に近似的に最大エンタングルメント状態への写像がほぼ確実に成立することを証明した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムな量子ゲートの最小エンタングルメントパワーは、一般にその最大可能な値に近いか？
• RQ2 典型的な量子ダイナミクスにおいて、最大、平均、最小エンタングルメントパワーはどのように比較されるか？
• RQ3 標準的なエンタングルメント測度を用いて、一般ユニタリに対して最小エンタングルメントパワーの下界を示せるか？
• RQ4 同様の振る舞いは、2つ以上の部分系を有する多部系に拡張できるか？
• RQ5 ランダムな量子ゲートは、エンタングルメント生成において内在的に耐障害的と見なせるか？

主な発見

• 一般の量子ゲートについて、フォン・ノイマンエントロピーによる最小エンタングルメントパワーは、$ \log d_A - \frac{d_A}{d_B \ln 2} - 1 $ 以上であり、$ d_A \ll d_B $ の場合に最大値に非常に近い。
• 最小エンタングルメントパワーはその平均のまわりにきつく集中している：$ \mu(|P_{\min}^{(S_v)}(U) - \mathbb{E}[P_{\min}^{(S_v)}(U)]| \geq \delta) \leq 2e^{-\frac{d_A d_B \delta^2}{32(\log d_A)^2}} $。
• 任意のリプシッツ連続なエンタングルメント測度 $ f $ について、最小エンタングルメントパワーは $ \mu(|P_{\min}^{(f)}(U) - \mathbb{E}[P_{\min}^{(f)}(U)]| \geq \delta) < 2e^{-\frac{d_A d_B \delta^2}{4|f|_L^2}} $ を満たす。
• 一般ゲートの最小スレートランクエンタングルメントパワーは $ \left\lceil \frac{d_A + d_B - \sqrt{(d_A - d_B)^2 + 4(d_A + d_B) - 8}}{2} \right\rceil $ であり、これは一般に大きな値である。
• 多部系で $ \min d_i \geq 3 $ の場合、ランダムゲートはすべての結合状態をほぼ確実に真にエンタングルされた状態に写像し、近似的に最大エンタングルメントを生成する。
• 多部系において、トレースノルムランクに関する最小エンタングルメントパワーは $ P_{\min}^{(TR)}(U) \geq \left\lceil \frac{d_0 - \sum_{i=1}^N d_i + N}{\sum_{i=1}^N d_i - N + 1} \right\rceil $ を満たす（退化ケースを除く）。